§ 6. Применение метода Пуанкаре

1. Ламповый генератор с мягким режимом.

Для иллюстрации метода Пуанкаре мы исследуем уравнение, к которому приводит рассмотрение обыкновенного лампового генератора (рис. 465) при мягком установлении автоколебаний. Как мы убедились, в этом случае можно ограничиться кубической характеристикой лампы (9.37). Для разнообразия мы не будем считать сейчас малым затухание колебательного контура как и раньше, Тогда уравнение колебаний генератора

где некоторый масштаб напряжения) и точкой сверху обозначено дифференцирование по безразмерному времени близко к уравнению гармонического осциллятора только при выполнении условий

т. e. вблизи границы самовозбуждения генератора и при малой нелинейности характеристики лампы.

Обозначив

и

где малый параметр величины порядка единицы, мы приведем уравнение колебаний генератора к следующему виду:

Это уравнение как раз такого типа, для которого нами был развит метод Пуанкаре. Поэтому мы дальше можем действовать по шаблону. В нулевом приближении периодические решения уравнения (9.80) имеют вид:

причем К определяется из уравнения

т. е.

Легко убедиться, что т. е. что в первом приближении нет поправки на период автоколебаний. Далее,

и, следовательно,

Интегрируя эти выражения в пределах от до имеем (см. (9.68в)):

поэтому поправка на период (см. (9.75))

Для нахождения поправки на период, а также для написания периодического решения с точностью до членов порядка нам нужно вычислить функцию и выражения Эти вычисления дают:

а

так как выражение под интегралом — функция периодическая (с периодом и нечетная.

Таким образом, поправка на период

а периодическое решение в виде (9.76), т. е. без вековых членов, с точностью до членов порядка может быть записано так 2):

В большинстве случаев для практики главный интерес представляет только выражение для амплитуды (9.81а). Второе приближение мы вычислили для того, чтобы, с одной стороны, показать, как производить вычисление, с другой — чтобы подчеркнуть, что решение принципиально содержит высшие гармоники, которыми при линейном рассмотрении всегда пренебрегают.

Выясним теперь, устойчиво ли найденное нами периодическое движение. Чтобы движение было устойчивым, нужно, чтобы постоянный коэффициент Фурье функции, которая является множителем при х в правой части уравнения (9.80) и в которую подставлено синусоидальное решение, оказался меньше нуля, т. е. чтобы или Но, как мы нашли, квадрат амплитуды нулевого приближения Следовательно, условие устойчивости всегда выполняется (так как ), и значит, найденное нами периодическое решение всегда устойчиво.

2. Значение малого параметра «мю»

Дифференциальное уравнение всякой динамической системы содержит ряд параметров, имеющих определенный физический смысл (например, ).

Обычно бывает целесообразно вместо этих параметров ввести новые, так называемые «безразмерные» параметры (точно так же часто бывает целесообразно вводить безразмерные переменные), представляющие собой некоторые определенные комбинации «размерных» физических параметров. Желательно для упрощения математического исследования свести число этих безразмерных параметров к наименьшему числу независимых. Если один из этих параметров может быть выбран таким образом, чтобы при значении параметра, равном нулю, система превращалась в линейный гармонический осциллятор, то этот параметр может служить с математической точки зрения тем малым параметром по которому производятся разложения в ряды в теории Пуанкаре и малостью которого приходится распоряжаться при обосновании метода Ван-дер-Поля.

Пуанкаре доказал, что ряды, представляющие периодическое решение, в его теории обладают отличным от нуля радиусом сходимости так что для всех эти ряды сходятся абсолютно и равномерно. Это значит, что в таком случае для всех существует периодическое решение, представляемое суммами соответствующих рядов.

Однако о характере решения, например о близости решения к синусоидальному, эта сходимость еще ничего не говорит; на основании теории Пуанкаре мы можем лишь утверждать, что в этом случае всегда можно выбрать столь малое чтобы решение было сколь угодно близко к синусоидальному.

Обычно при рассмотрении физических задач мы пользуемся нулевым приближением иногда кроме нулевого приближения нас интересует так называемая первая поправка на частоту (пропорциональная или и выражение второго члена (пропорционального в разложении периодического решения. Поэтому нас в первую очередь интересуют такие вопросы: насколько амплитуда нулевого приближения отличается (при заданном от амплитуды основного тона точного решения, насколько первая поправка на частоту отличается от истинной поправки на частоту, насколько истинная несинусоидальность (определенная, например, при помощи так называемого клирфактора) отличается от несинусоидальности, присущей первому приближению, и т. д. Если мы при этом зададимся, исходя из физической сущности задачи, допустимой погрешностью (например, выраженной в процентах), то это даст нам теоретическую возможность определить верхнюю границу для исходя из соображений о физической пригодности нулевого приближения, первого приближения и т. д. Так как, с другой стороны, есть определенная комбинация физических параметров, то в

реальной системе имеет совершенно определенное значение, и мы не можем по произволу считать его сколь угодно малым, не теряя физического смысла задачи. Пусть, например, по самому физическому смыслу поставленной задачи Тогда возникают следующие два вапроса: во-первых, будет ли таким значением, при котором сходятся ряды Пуанкаре, и, во-вторых, будет ли таким значением, при котором нулевое или первое приближение дает требуемую точность. При отрицательном ответе на первый вопрос мы должны отказаться от использования метода Пуанкаре; при отрицательном ответе на второй вопрос, если на первый вопрос ответ положительный, возникает необходимость пользоваться дальнейшими приближениями. Однако ответы на эти вопросы при современном положении теории затруднительны и перед теорией стоит задача выработать для ответа на них достаточно эффективные методы.