§ 2. Общая теория поведения траекторий на фазовой плоскости. Предельные траектории и их классификация

1. Предельные точки полутраектории и траектории.

Введем прежде всего некоторые элементарные понятия, которыми мы в дальнейшем будем пользоваться.

Пусть

— решение системы (6.1) и соответствующая этому решению траектория. Часть траектории, точкам которой соответствуют значения будем называть положительной полу траекторией и обозначать через или где точка, соответствующая значению Точно так же часть траектории, точкам которой соответствуют значения будем называть отрицательной полутраекторией и обозначать через или

Если при всех значениях (или при которых определено решение (6.1), изображающая точка остается в некоторой ограниченной части плоскости, то это решение заведомо определено при всех значениях (или при так что в этом случае точкам полутраектории соответствуют всевозможные значения Если изображающая точка остается в некоторой ограниченной части плоскости при всех при которых определено решение (как так и то решение, очевидно, определено при всех

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только такие полутраектории и траектории, которые целиком лежат в некоторой

ограниченной части плоскости (они и представляют основной интерес) и в дальнейшем не будем это оговаривать каждый раз. Иногда, чтобы подчеркнуть, что рассматриваются все точки траектории, мы будем называть ее целой траекторией.

Существенными для дальнейшего являются понятия предельной точки полутраектории и предельной траектории. Точка называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории если при любом сколь угодно малом и любом сколь угодно большом (любом в -окрестности точки имеется точка полутраектории соответствующая значению (или соответственно

Из приведенного определения предельной точкиа) полутраектории непосредственно следует, что если координаты предельной точки положительной полутраектории то существует последовательность неограниченно возрастающих значений

таких, что

Очевидно, обратно, из существования последовательности неограниченно возрастающих значений для которой выполняются условия (6.4), следует, что точка есть предельная точка полутраектории Очевидно также, что если точка есть предельная точка полутраектории при некотором выборе начального положения изображающей точки на то она будет также предельной точкой и при любом другом выборе точки на

Точка называется предельной точкой целой траектории L, если есть предельная точка либо для положительной

полутраектории либо для отрицательной полутраектории выделенной из траектории первом случае часто называют -предельной точкой, во втором — -предельной точкой траектории

Предельная точка траектории L может как принадлежать самой траектории L, так и не принадлежать ей. Поясним это на примерах тех полутраекторий, которые встречались в рассмотренных выше частных случаях динамических систем. Всякое состояние равновесия является своей единственной предельной точкой (как так и -предельной). Все точки замкнутой траектории, очевидно, также являются ее и -предельными точками. Действительно, соответствующее замкнутой траектории L движение

является периодическим (с некоторым периодом и каждая точка этой траектории соответствует бесчисленному множеству значений

а также

Поэтому она согласно определению является как так и -предельной точкой L (в рассматриваемом случае при любом ). Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. Для полутраектории имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными. Очевидно, в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории.

Ниже мы будем рассматривать только положительные полутраектории (целиком лежащие, как уже было сказано выше, в ограниченной области плоскости), так как все сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой на ).