3. Вспомогательные предложения.

Прежде чем перейти к доказательству второй основной теоремы, которая покажет нам, какие траектории могут быть предельными, нам придется остановиться на ряде вспомогательных предложений, связанных с так называемым «отрезком без контакта». Возьмем на фазовой плоскости какую-нибудь точку отличную от состояния равновесия. Пусть траектория, проходящая через точку Проведем через эту точку прямую не касающуюся в точке траектории Очевидно, что мы всегда можем выделить на этой прямой такой отрезок, содержащий точку который ни в одной своей точке не касался бы ни одной из траекторий системы (6.1). Такой отрезок, как известно, и называется отрезком без контакта.

Дадим ряд предложений, относящихся к отрезку без контакта, которые нам будут необходимы в дальнейшем; некоторые из этих предложений совершенно очевидны, и мы их не будем доказывать.

I. Прямая делит фазовую плоскость на две части, и мы можем различать две стороны прямой Пусть на рассматриваемой траектории задано движение и пусть точке соответствует значение Так как в точке прямая не касается траектории то в силу непрерывности правых частей уравнений (6.1) мы всегда можем указать такие и чтобы часть траектории, соответствующая значениям удовлетворяющим неравенству лежала целиком по одну сторону прямой а часть траектории, соответствующая значениям лежащим в интервале целиком лежала по другую сторону прямой.

II. В силу непрерывности правых частей системы (6.1) изображающая точка, двигаясь по любой из траекторий, пересекающих отрезок без контакта, при возрастании всегда переходит с одной и той же стороны прямой на другую ее сторону, т. е. все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении.

Отсюда, в частности, следует, что если какая-нибудь фазовая траектория пересекает отрезок без контакта дважды, то она может

пересечь его только так, как это показано на рис. 290, но не так, как показано на рис. 291.

III. Сколь бы малое мы ни взяли, всегда существует столь малая окрестность точки что всякая траектория, проходящая при через точку этой окрестности, пересекает отрезок без контакта при некотором значении отличающемся от значения меньше чем на .

IV. Всякая часть траектории, соответствующая значениям внутри некоторого конечного промежутка может иметь лишь конечное число точек пересечения с любым отрезком без контакта.

Рис. 290.

Рис. 291.

Доказательство поведем от противного. Предположим, что траектория L имеет бесчисленное множество точек пересечения с некоторым отрезком без контакта I и что все эти точки соответствуют значениям лежащим между В силу принципа Больцано-Вейерштрасса из бесчисленного множества значений соответствующих этим точкам пересечения, мы можем выбрать последовательность стремящуюся (при к некоторому значению и при этом такую, чтобы соответствующие значениям точки траектории L стремились бы к точке соответствующей значению Эта точка очевидно, должна лежать на отрезке без контакта I, поскольку к ней стремятся точки лежащие на этом отрезке. Но в силу предложения I для значений достаточно близких к на траектории L не может быть точек, которые лежали бы опять на отрезке без контакта. Последнее утверждение находится в противоречии с тем, что есть предельное значение соответствующее точкам пересечения L с I, т. е. с тем, что есть сколь угодно близкие к значения которым соответствуют точки пересечения Мы пришли к противоречию, и этим самым доказано, что число точек конечно.

V. Точки пересечения незамкнутой траектории 10 с любым отрезком без контакта I, соседние по значениям времени будут также соседними и на отрезке Расположим значения соответствующие точкам пересечения траектории с отрезком в порядке возрастания Возьмем две точки пересечения с соответствующие соседним значениям времени и покажем, что на отрезке не может быть больше точек пересечения Действительно, если бы на отрезке была еще одна точка пересечения, то она могла бы соответствовать либо значениям либо значениям (так как между и нет значений соответствующих точкам пересечения

Рис. 292.

Но при значении изображающая точка, двигающаяся по траектории, входит в область, лежащую внутри замкнутой кривой составленной из куска траекторий и отрезка или выходит из этой области (рис. 292). Для того чтобы изображающая точка смогла еще раз пересечь отрезок она должна выйти из этой замкнутой кривой (или войти внутрь ее). Это невозможно, так как изображающая точка не может пересечь ни кусок траектории (траектории на фазовой плоскости не пересекаются), ни отрезок как она должна была бы пересечь последний в направлении, противоположном первоначальному, что невозможно по предложению И. Отсюда следует, что на нашем отрезке не может быть точек пересечения для Таким же образом можно показать, что на отрезке не может быть точек пересечения с траекторией соответствующих значениям

Доказанное предложение можно сформулировать и так: последовательные точки пересечения положительной полутраектории с любым отрезком без контакта I располагаются на отрезке I в порядке возрастания времени.

VI. Замкнутая траектория может иметь с отрезком без контакта только одну точку пересечения. Действительно, предположим, что замкнутая траектория имеет более одной точки пересечения с отрезком без контакта и пусть две соседние точки пересечения, соответствующие значениям так что на отрезке нет больше точек пересечения с Очевидно, что на траектории есть точки,

соответствующие значениям лежащие вне (или внутри) замкнутой кривой составленной из куска траектории 10 и отрезка а также есть точки, соответствующие значениям лежащие внутри (или вне) этой замкнутой кривой (рис. 292). Так как траектория замкнута, то изображающая точка, двигающаяся по дуге и попавшая внутрь (оказавшаяся вне) кривой должна выйти из нее (войти в нее), чтобы описать внешнюю (внутреннюю) часть траектории 10. Это, очевидно, невозможно, так как все траектории пересекают отрезок в одном и том же направлении, а пересечь дугу траектории изображающая точка также не может. Противоречие, к которому мы пришли, доказывает, что все точки пересечения замкнутой тоаектории с отрезком без контакта непременно совпадают.

VII. Рассмотрим незамкнутую положительную полутраекторию для которой траектория L (не являющаяся состоянием равновесия) есть предельная. Если через какую-нибудь точку траектории L проведен отрезок без контакта, то на этом отрезке будет лежать бесконечная последовательность точек полутраектории (расположенных в порядке возрастания времени стремящихся к точке Это предложение является следствием первой основной теоремы и предложений III и Пусть движение по траектории L, не являющейся состоянием равновесия, причем точка этой траектории соответствует значению а точка Значению . Пусть I — отрезок без контакта в точке Тогда, сколь бы малы ни были всегда можно указать такое что изображающая точка, помещенная в момент на расстоянии, меньшем от точки при некотором значении удовлетворяющем неравенству необходимо пересечет отрезок без контакта I, оставаясь в течение промежутка времени от до на расстоянии, меньшем от точек траектории L, соответствующих значениям между

Это предложение (справедливое как для так и для является следствием теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий и предложения III.