4. Интегральный инвариант.

Введем теперь понятие об интегральном инварианте. Рассмотрим сначала соответствующую задачу в общем виде, не связывая ее с консервативностью, чтобы затем использовать полученные результаты для консервативных систем.

Пусть некоторая динамическая система определяется уравнениями общего вида

Будем интерпретировать изображающие точки на фазовой плоскости как частицы некоторой двумерной «жидкости», а фазовые траектории — как линии тока стационарного течения этой «жидкости» по фазовой плоскости, предполагая, что нигде нет ни источников, ни стоков «жидкостей». Пусть будет «плотность» этой воображаемой жидкости. Рассмотрим множество изображающих точек — совокупность «частиц жидкости», которые заполняли в момент времени некоторую область («двумерный объем») на фазовой плоскости. «Масса» рассматриваемого «объема жидкости», очевидно, выразится интегралом

координаты изображающих точек при Наша «жидкость» течет по фазовой плоскости, следуя линиям тока, определяемым уравнениями движения (2.63) или их решением:

(так как начальные значения координат изображающих точек, то, очевидно, По этим траекториям будут перемещаться и рассматриваемые «частицы» жидкости, заполнявшие в момент «объем» Обозначим через область, которую будет заполнять эта совокупность «частиц» в момент времени «Масса жидкости» в этом новом «объеме»

и должна быть равна если наша интерпретация движения изображающих точек на фазовой плоскости как стационарного течения некоторой «жидкости» с плотностью и без источников и стоков является правильной, так как для «жидкости» должен выполняться закон сохранения «массы». Точнее говоря, такая интерпретация движения изображающих точек возможна только лишь в том случае, когда можно подобрать такую функцию «плотность» жидкости, чтобы «масса жидкости», «масса» любой совокупности ее

«частиц», оставалась неизменной во время движения. Мы будем говорить, что в этом случае уравнения движения (2.63) допускают двумерный положительный интегральный инвариант. Таким образом, выражение (2.65) является интегральным инвариантом (функция называется фазовой плотностью интегрального инварианта), если при любой начальной области или, что то же самое,

при любой области интегрирования

Найдем условие, которому должна удовлетворять функция для того, чтобы выражение (2.65) было интегральным инвариантом уравнений (2.63). При дифференцировании интеграла (2.65) по времени основное затруднение состоит в том, что область по которой совершается интегрирование, меняется с течением времени. Чтобы обойти эту трудность, перейдем под интегралом от переменных х, у к переменным с помощью якобиана

После перехода к новым переменным получим:

причем здесь под х и у следует понимать функции — решение дифференциальных уравнений (2.63), и

так как теперь область интегрирования от времени не зависит. Поскольку эта производная должна равняться тождественно нулю при любой области интегрирования подынтегральное выражение должно также тождественно равняться нулю (при любых т. е.

Так как

то

и условие (2.69), поскольку сводится к условию

при любых х, у.

Нетрудно показать, что уравнения Гамильтона всегда допускают интегральный инвариант с постоянной фазовой плотностью (которую, не нарушая общности, можно положить равной единице). Действительно, в случае уравнений Гамильтона, полагая условие (2.70) можно свести к условию

которое выполняется тождественно в силу перестановочности дифференцирования.

Таким образом, фазовая площадь («двумерный фазовый объем») является интегральным инвариантом для уравнений Гамильтона. Это утверждение, впервые доказанное Лиувиллем, носит название теоремы Лиувилля.

Для уяснения несколько абстрактной теоремы Лиувилля рассмотрим примеры, в которых инвариантность фазовой площади нетрудно непосредственно установить.

Пример Гармоническое движение:

Нетрудно сообразить, что с течением времени каждый радиус-вектор

характеризующий состояние системы, повернется на один и тот же угол. Любая фигура просто повернется, не изменяя своей формы и, следовательно, площади (рис. 105).

Пример И. Движение под действием постоянной силы:

Рис. 105.

Если мы в момент выделим на фазовой плоскости квадрат между точками: то с течением времени квадрат будет все больше и больше перекашиваться (рис. 106), но площадь фигуры будет оставаться постоянной,

так как стороны, параллельные оси соединяющие точки с равной начальной скоростью будут перемещаться параллельно самим себе, и вместе с тем расстояние между ними и их длина будут оставаться неизменными и равными а. Вместо квадрата со стороной а мы получим параллелограмм с основанием а и высотой а, т. е. равновеликий квадрату.

Если мы будем пользоваться фазовой плоскостью не с переменными а с переменными т. е. если мы будем исходить не из уравнений Гамильтона, а из уравнений Лагранжа, то теорема Лиувилля уже не будет иметь места. Однако, вообще говоря, у нас будет существовать интегральный инвариант. Действительно,

Рис. 106.

Таким образом, в переменных фазовая плотность уже не постоянна, а равна . Поэтому, для того чтобы уравнения Лагранжа допускали интегральный инвариант, достаточно, чтобы было конечно и постоянно по знаку, например положительно. В реальных случаях это условие обычно выполняется.

Интегральный инвариант имеют и более общие уравнения консервативных систем — уравнения Пфаффа (2.61), а именно: интегральный инвариант с фазовой плотностью

так как условие того, чтобы это выражение было интегральным инвариантом уравнений (2.61),

выполняется тождественно в силу перестановочности дифференцирования. Нетрудно видеть, что выражение где любая функция, левая часть интеграла консервативной системы (2.59), может быть использовано для образования интегрального инварианта в качестве фазовой плотности. Действительно, является

константой движения; поэтому совершенно очевидно, что если интегральный инвариант, то и будет также интегральным инвариантом. Можно показать, что это общий вид интегрального инварианта. Другими словами, отношение двух различных выражений для фазовых плотностей интегральных инвариантов, приравненное постоянной величине, всегда является интегралом системы

Возвратимся снова к наглядной интерпретации изображающих точек как «частиц двумерной жидкости», а их движения — как ста ционарного течения такой «жидкости» (без источников и стоков) Как уже указывалось в начале настоящего пункта, такая интерпре тация возможна только при существовании интегрального инвариан та; его фазовая плотность может быть взята в качестве «плотности жидкости», а сам интегральный инвариант будет выражать закон сохранения «массы жидкости».

Рис. 107.

Рассмотрим поток «жидкости», заключенный между двумя достаточно близкими фазовыми траекториями, — «полоску» тока (рис. 107), которая аналогична трубке тока в гидродинамике. В силу закона сохранения «массы жидкости» поток «жидкости» через одно сечение этой полоски (например, через отрезок должен равняться потоку через любое другое сечение той же полоски тока (например, через отрезок Если обозначить через и фазовые скорости на этих отрезках, т. е. скорости течения «жидкости» в этих сечениях полоски тока, то, очевидно,

где плотности «жидкости» в первом и втором сечениях полоски тока.

Таким образом, если мы знаем фазовые траектории и фазовую плотность, мы можем определить относительное распределение фазовых

скоростей вдоль траекторий, т. е., иначе говоря, можем определить фазовую скорость в любой точке данной фазовой траектории, если она известна для какой-либо одной точки этой траектории.

Из существования интегрального инварианта со знакоопределенной и ограниченной фазовой плотностью еще раз следует невозможность существования в консервативных системах состояний равновесия типа узла или фокуса и замкнутых фазовых траекторий, к которым асимптотически приближались бы соседние фазовые траектории (т. е. предельных циклов). Действительно, допустив противоположное, мы будем иметь на фазовой плоскости такие «полоски тока», сечения которых будут неограниченно уменьшаться (точнее говоря, стремиться к нулю) при приближении этих «полосок тока» к состояниям равновесия типа узла или фокуса или к предельному циклу. Но фазовые скорости там остаются конечными (а при приближении к состояниям равновесия даже стремятся к нулю), следовательно по мере приближения к состояниям равновесия или к предельным циклам фазовая плотность должна неограниченно возрастать, что невозможно.