ГЛАВА 9. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ, ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ, ОБЩИЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ СИСТЕМ

Ранее для анализа распределения напряжений и деформаций применялись дифференциальные методы, основанные на геометрических, статических и физических соотношениях, описывающих поведение частицы материала или элемента конструкции. В результате получались дифференциальные уравнения, характеризующие «условия жизни» малого элемента. Интегрирование указанных уравнений давало описание работы всей конструкции, т. е. учитывало совместную работу всех сопряженных элементов. Краевые условия при интегрировании дифференциальных уравнений отражали особенности поведения элементов, примыкающих к границам тела. Однако существуют и другие методы анализа, которые могут быть названы вариационными. Эти методы основаны на изучении общих количественных характеристик конструкции (функционалов), таких как энергия деформации, работа внешних сил при деформации конструкции и т. п. Условие того, что функционал для всей конструкции должен приобретать минимальное значение, накладывает определенные ограничения на поведение каждого элемента. Эти ограничения или условия оказываются как раз теми дифференциальными уравнениями, которые изучались ранее. Таким образом, дифференциальные и вариационные методы не противоречат, а взаимно дополняют друг друга. Общность анализа, возможность использования приближенных методов, удобных для численной реализации на ЭВМ, делают вариационные или энергетические методы весьма важными для прочностного анализа конструкции.

Вариационные методы связаны с понятием функционала. Функционалом называется скалярная величина (число), зависящая от поведения функции или нескольких функций в определенной области. Например, длина кривой, соединяющей две заданные точки пространства, является функционалом; он имеет минимальные значения для линейной функции (прямой).

Вариационные методы приложимы для различных моделей материала, на в дальнейшем ограничимся рассмотрением работы конструкций в упругой области.

35. Потенциальная энергия деформации

Предварительное замечание.

При деформации упругое тело накапливает энергию деформации за счет работы внешних сил. Сжатая пружина может возвратить затраченную на ее сжатие работу, так как обладает потенциальной энергией деформации. Это явление используется в ряде технических устройств (заводные пружины часов, пружины воздушных тормозов железнодорожных вагонов и т. п.). Ближайшая задача состоит в получении общих формул для определения потенциальной энергии деформации, но начнем с рассмотрения простейшего случая — растяжения стержня.

Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии стержней.

Рассмотрим растяжение стержня усилием N (рис. 9.1, а). Усилие возрастает медленно от 0 до N и по закону упругости: пропорционально силе увеличивается удлинение стержня.

Пренебрегая кинетической энергией частиц стержня и изменением их тепловой энергии в процессе нагружения, считаем по закону сохранения энергии, что потенциальная энергия деформации равна работе внешней силы:

где — значения усилия и удлинения в промежуточный момент нагружения.

По физическому смыслу интеграл (1) равен площади на рис. 9.1, б:

При растяжении стержней

где Е — модуль упругости; F — площадь поперечного сечения (изменением F в процессе деформации пренебрегают как малой величиной); l — первоначальная длина стержня.

Рис. 9.1. Зависимость N и удлинения при растяжении стержня: а - этапы нагружения; б — изменение усилия и удлинения в процессе нагружения

Множитель 1/2 в формуле (2) появился потому, что в процессе нагружения усилие было переменным (от 0 до N). Из равенств (2) и (3) получаем два эквивалентных выражения:

Введем понятие удельной потенциальной энергии деформации или потенциальной энергии деформации, приходящейся на единицу объема. Тогда

где V — объем тела.

При растяжении стержня силой N величина одинакова для всех элвхментов стержня, и потому

где — объем стержня.

Из соотношения (4) находим

где напряжения и деформации в стержне.

Важное для дальнейшего рассмотрения равенство (6) можно получить непосредственно из уравнения (1). Введем замену переменных, обозначая

где — деформация в данный момент нагружения (новая переменная). Тогда из равенства (1) получаем

и удельная энергия деформации равна

Принимая соотношение упругости

найдем

что совпадает с равенством (6).

Другой вывод формулы для потенциальной энергии деформации при растяжении и сжатии стержней.

При действии внешней (растягивающей) нагрузки в сечениях стержпя возникают внутренние силы упругости. Так как стержень деформируется, то внутренние силы упругости совершают работу.

Рис. 9.2. Вычисление потенциальной энергии деформации как работы внутренних сил упругости: а — работа внутренних сил упругости с учетом перемещений сечений стержня; б — работа внутренних сил упругости как работа при деформации элемента

Рассмотрим элемент стержня (рис. 9.2, а). В сечении стержня действуют напряжения , которые прикладывались статически. Работа внутренних сил упругости при деформации элемента стержня может быть вычислена так:

где — перемещение сечения стержня, — деформация материала стержня.

Работа внутренних сил упругости во всем объеме стержня

где — объем стержня.

По закону сохранения энергии работа внутренних сил равна работе внешних сил и одновременно потенциальной энергии деформации:

Удельная потенциальная энергия равна

что совпадает с равенством (6).

Наконец, равенство (9) можно получить еще одним способом, рассматривая работу при деформации элемента (рис. 9.2, б).

Сечения элемента при деформации получат относительное смещение . Работа сил упругости при деформации элемента

удельная потенциальная энергия деформации

что снова приводит к прежним результатам.