2. Приведение системы скользящих векторов к системе двух векторов (аналитическое решение).

Так как существует бесчисленное множество систем, эквивалентных данной, то большое значение имеет выбор простейшей

системы. Прежде всего следует остановиться на вопросе, что следует понимать под простейшей системой? Хотя вопрос этот и не имеет точного ответа, однако можно считать, что простейшая система должна содержать наименьшее число векторов. В частности, если данную систему можно привести к нулю, то простейшей системой для данной будем считать нулевую систему, если система приводится к одному вектору, то простейшей системой будвм считать этот вектор. Было показано что любую систему скользящих векторов можно привести к эквивалентной ей системе двух векторов, однако геометрическое решение, имея большое теоретическое значение, практически неприменимо, так как оно требует много пространственных построений. Поэтому представляет интерес аналитическое решение, свободное от этих недостатков.

Пусть система данных векторов с главным вектором и главным моментом (О — начало координат) эквивалентна двум векторам Р и причем будем считать, что эти векторы приложены в точках соответственно. Уравнения (20.1) примут вид

где и — известные векторы, а векторы нужно подобрать так, чтобы эта система имела решение. Из первого уравнения выразим Р через

и внесем это значение во второе уравнение:

Один из векторов, или можно выбрать произвольно; пусть это будет вектор Тогда правая часть этого равенства сделается вполне определенным вектором. Вектор выберем из условия, что векторы должны быть взаимно перпендикулярны и, следовательно, их скалярное произведение равняется нулю. Отсюда

или

Из этого следует, что точка должна лежать в плоскости, перпендикулярной к вектору и проходящей через точку уравнение плоскости (8.15) и (8.14)]. Возьмем на этой плоскости одну точку тем самым будет определен радиус-вектор удовлетворяющий условию (20.6). После этого нужно выбрать вектор так, чтобы он обращал в тождество равенство (20.5), и, пользуясь выражением (20.4), найти вектор Р.

Из приведенного решения видно, что точку приложения одного вектора можно выбрать произвольно, кроме того, имеются большие возможности варьирования при выборе второго вектора (как точки приложения, так и самого вектора).

Все вычисления значительно упрощаются, если совместить начало координат с точкой приложения первого вектора а. В этом случае и равенства (20.5) и (20.6) примут вид

Заметим, что это упрощение не нарушает общности полученного решения, так как оно не ограничивает выбора точки приложения первого вектора, а налагает условие только на выбор начала координат.

Рис. 67.

Пример. По ребрам куба, равным а, действуют восемь скользящих, равных по модулю векторов, как показано на рис. 67, а. Требуется заменить эту систему векторов двумя векторами Р и из которых один проходит через точку О.

Найдем прежде всего главный вектор и главный момент данной системы (см. (14.2), (14.6), (13.14)):

Так как по условию один вектор проходит через точку О, то и следует пользоваться формулами (20.7) и (20.8). Запишем уравнение (20.8) в скалярной форме:

или для данной задачи:

Положим тогда , следовательно, радиус-вектор определен:

Векторному уравнению (20.7) относительно соответствуют три скалярных уравнения, из которых независимых только два (см. (11.11)):

или, учитывая значения

Первые два уравнения эквивалентны, и из них следует, что Положим тогда из последнего уравнения найдем Таким образом, вектор также определен:

Вектор Р найдем из равенства

Векторы Р и равны по модулю они действуют по диагоналям боковых граней куба, как показано на рис. 67, б. Системы, изображенные на рис. эквивалентны. Естественно, что существует бесчисленное множество других решений.