§ 17. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

1. Элементарные операции и их свойства.

Для системы скользящих векторов следующие операции называются элементарными:

1) перенос вектора вдоль линии его действия;

2) добавление или отбрасывание двух векторов равных по модулю, действующих по одной прямой и направленных в противоположные стороны;

3) замена нескольких векторов системы, приложенных к одной точке, одним вектором, равным их сумме и приложенным в той же точке;

4) замена одного вектора его составляющими, приложенными в той же точке.

Легко видеть, что элементарные операции обладают следующими свойствами.

Свойство 1. В результате применения элементарных операций получится новая система, эквивалентная данной.

Свойство 2. Элементарные операции не изменяют главного вектора и главного момента системы.

Свойство 1 непосредственно следует из определения скользящих векторов и аксиом. Свойство 2 тоже очевидно. Действительно, первая операция не изменяет момента вектора (см. (13.5)), и следовательно, она не изменяет и главного момента системы (главный вектор вообще не зависит от точек приложения векторов). Вторая операция не изменяет главного вектора и главного момента, так как она равносильна прибавлению или отбрасыванию системы, главный вектор и главный момент которой равны нулю (см. (14.3), (14.7) и п. 4 § 14, стр. 114). Третья и четвертая операции не изменяют главного вектора на основании его определения как суммы всех векторов, составляющих систему, и сочетательного свойства суммы. Главный момент не изменяется от третьей и четвертой операций в силу теоремы Вариньона — см. стр. 115.

Переход с помощью элементарных операций от одной системы скользящих векторов к другой системе будем обозначать символом причем стрелка направляется от преобразуемой системы к преобразованной. Так, например, запись

означает переход от вектора к вектору действующему по той же прямой а, но приложенному в точке В (первая элементарная операция). Запись

означает переход от системы к системе при этом отброшены два равнопротивоположных вектора действующих по одной прямой (вторая элементарная операция).

В общем случае запись

означает, что система получена из системы с помощью элементарных операций.

Очевидно, что элементарные операции обратимы, т. е. если система получена из то применением элементарных операций можно снова перейти от системы к системе

Если в результате применения элементарных операций получится нулевая система, то это обозначается