2. Свойства произведения.

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательное свойство

2) распределительное свойство по отношению к числовому множителю

3) распределительное свойство по отношению к векторному множителю

Докажем для примера третье свойство.

Пусть для определенности число X отрицательно. Приведем векторы к одному началу, построим сумму векторов (диагональ параллелограмма) и векторы и Вектор по определению произведения, при противоположен вектору а и его модуль равен Вектор противоположен и его модуль равен рис. 16 вектор

Рис. 16.

Параллелограмм подобен параллелограмму (стороны одного параллелограмма служат продолжениями сторон другого и Из этого вытекает, что углы между диагоналями и соответствующими сторонами равны и, следовательно, диагональ служит продолжением диагонали

Кроме того, из подобия следует пропорциональность не только сторон, но и диагоналей

Отсюда

Учитывая направление вектора и выбранный знак числа X, будем иметь:

Но а Внося эти значения в последнее равенство, получим (3.3):

Аналогично доказываются и первые два свойства.