4. Связь между естественным и координатным способами задания вектора.

Предположим вначале, что вектор задан естественным способом с помощью направляющих углов и модуля вектора а. Проекции вектора немедленно определятся, если только воспользоваться равенством (6.10):

Значительно чаще приходится устанавливать обратную зависимость, а именно: зная проекции вектора, определить его модуль и направляющие углы или косинусы. Для этого

возведем в квадрат левые и правые части равенств (7.7) и сложим почленно полученные выражения (общий множитель выносим за скобки):

Но выражение, стоящее в скобках, равно единице; поэтому

Отсюда

т. е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его проекций (берется арифметическое значение корня).

Значения направляющих косинусов определятся теперь из (7.7):

Формулу (7.8) можно установить из геометрических соображений, не прибегая к зависимости (7.2). Для этого рассмотрим рис. 33. Модуль вектора а равен диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на составляющих . Следовательно,

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его сторон).

Имеем также — см. (6.5):

Внося эти значения для модулей составляющих вектора в последнее выражение, получим (7.8).

Установив справедливость выражения (7.8), легко получить теперь зависимость между направляющими косинусами (7.2). Для этого достаточно возвести в квадрат левые и правые части (7.9) и сложить полученные выражения:

Пример. Проекции вектора на ось равны

Определить модуль вектора и его направляющие косинусы. На основании (7.8) и (7.9) имеем: