7. Некоторые приложения.

а) Расстояние между двумя точками. Пусть координаты точки — координаты точки Так как проекции вектора на оси равны разности координат его конца и начала (см. (6.11)), то для вектора будем иметь

Внося эти выражения в (7.8), получим значение модуля вектора равное расстоянию между двумя точками

б) Условие коллинеарности двух векторов. Пусть два вектора коллинеарны. Тогда между ними

существует зависимость вида (см. (3.6))

где X — некоторый скаляр.

Пользуясь свойством (6.7), будем иметь

Отсюда

Так как правые части этих равенств одинаковы, то равны и левые части:

т. е. если векторы коллинеарны, то их проекции пропорциональны (очевидно, справедливо и обратное утверждение).

в) Деление отрезка в данном отношении. Задание точки радиусом-вектором позволяет решить следующую важную задачу. Даны две точки (даны их радиусы-векторы). На прямой требуется найти точку делящую отрезок в заданном отношении иначе говоря, на отрезке требуется найти такую точку (ее радиус-вектор), чтобы выполнялось равенство

Рис. 35.

Составим векторы (см. рис. 35). Эти векторы коллинеарны, и отношение их модулей равно Следовательно, на основании (3.6) будем иметь:

Отсюда найдем радиус-вектор искомой точки:

или

Это векторное равенство равносильно трем скалярным:

Пример. Определить точку пересечения медиан треугольника, если известны его вершины

Медиана делит отрезок пополам (рис. 36); следовательно, и для точки справедливо равенство

Рис. 36.

Точка пересечения медиан делит отрезок в отношении поэтому, согласно формуле (7.14),

или