§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1. Задача разложения.
В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет задача разложения, состоящая в представлении данного вектора в виде суммы нескольких векторов, называемых составляющими данного
вектора. Эта задача, имеющая в общем случае бесчисленное множество решений, становится вполне определенной, если задать некоторые элементы составляющих векторов.
2. Примеры разложения.
Рассмотрим несколько весьма часто встречающихся случаев разложения.
1. Разложить данный вектор с на два составляющих вектора 
из которых один, например а, задан по величине и направлению.
Задача сводится к определению разности двух векторов. Действительно, если векторы 
являются составляющими вектора с, то должно выполняться равенство
Отсюда определяется второй составляющий вектор 
2. Разложить данный вектор с на два составляющих, из которых один должен лежать в заданной плоскости 
а второй должен лежать на заданной прямой а.
Рис. 18.
Для определения составляющих векторов 
перенесем вектор с так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения заданной прямой с плоскостью 
(точка О — см. рис. 18). Из конца вектора с (точка С) проведем прямую 
до
пересечения с плоскостью 
{В - точка пересечения), а затем из точки С проведем прямую 
параллельно 
Векторы 
и 
будут искомыми, т. е. 
Естественно, что указанное разложение возможно, если прямая а и плоскость 
не параллельны.
3. Даны три компланарных вектора а, b и с, причем векторы 
не коллинеарны. Требуется разложить вектор с по векторам 
Приведем все три заданных вектора к одной точке О. Тогда в силу их компланарности они расположатся в одной плоскости. На данном векторе с как на диагонали построим параллелограмм, стороны которого параллельны линиям действия векторов 
(рис. 19). Это построение всегда возможно (если только векторы 
не коллинеарны) и единственно. Из рис. 19 видно, что
Рис. 19.
Но векторы 
и а по построению параллельны, следовательно, 
(см. (3.6)), аналогично: 
где X и 
— некоторые числа, называемые коэффициентами разложения. Внося полученные значения составляющих векторов 
и 
в последнее равенство, получим:
Это выражение и определяет разложение вектора с по двум неколлинеарным векторам.
