4. Момент вектора относительно оси.

Пусть в пространстве дан вектор и ось направление которой задано ортом е. Возьмем на оси точку О и найдем момент вектора относительно этой точки; очевидно, что будет зависеть по величине и направлению от выбранной точки О. Однако проекция этого момента на ось не зависит от выбора точки на оси. Докажем это. Пусть на оси выбраны две точки О и Тогда

где А — точка приложения вектора а.

Очевидно, что (рис. 55). Поэтому

или

(для сокращения записи положено

Умножим обе части этого равенства скалярно на орт оси

Первое слагаемое в правой части равно нулю, так как в этом смешанном произведении векторы коллинеарны. Следовательно,

что на основании (8.18) можно переписать в следующем виде:

Рис. 55.

Доказанное свойство дало основание ввести следующее определение: моментом вектора а относительно оси называется проекция на эту ось момента данного вектора относительно любой точки О данной оси

где О — любая точка на оси .

Согласно определению и (8.18) имеем

или

Пользуясь выражением для смешанного произведения (10.3), получим

где — координаты любой точки на оси ; х, у, z — координаты любой точки на линии действия вектора; — проекции вектора — направляющие косинусы оси е.

Если ось, относительно которой вычисляется момент вектора, проходит через начало координат, то и последняя формула принимает более простой вид

Пусть ось совпадает с осью х. Тогда , следовательно,

Сравнивая с (13.8), видим, что аналогично т. е. моменты относительно осей координат равны проекциям момента относительно начала координат на соответствующие оси (этот вывод следует также непосредственно из определений). На этом основании в формулах (13.8) можно опустить индекс О и писать просто и

Момент вектора относительно оси удобно часто вычислять не с помощью формул (13.9) - (13.13), а из простых геометрических соображений. Построим плоскость перпендикулярную к оси, обозначим точку пересечения

плоскости и оси буквой О и построим ортогональную составляющую данного вектора на плоскости

Рис. 56.

По определению момента вектора относительно оси имеем

где — момент а относительно точки О и а — угол между осью

Пользуясь (13.4), можно написать

Учтем теперь, что угол между плоскостью треугольника и плоскостью равен а (так как и Поэтому , и, следовательно,

Но удвоенная площадь треугольника равна произведению основания на высоту Поэтому

Таким образом, для того чтобы вычислить момент вектора относительно оси, достаточно:

1. спроектировать данный вектор на плоскость, перпендикулярную к оси;

2. умножить величину этой проекции атс на расстояние от точки пересечения плоскости с осью до линии действия составляющей.

Тогда момент вектора относительно оси будет равен этому произведению, взятому со знаком если со стороны положительного направления оси переход от начала вектора аж к его концу виден справа налево (в этом случае знаком — в противном случае.

Это правило особенно удобно в тех случаях, когда вектор лежит в плоскости, перпендикулярной к оси; в сложных случаях удобнее пользоваться общей формулой.

Очень важное значение имеет вопрос о равенстве нулю момента вектора относительно оси. Из (13.14) видно, что в двух случаях: либо либо первом случае вектор а параллелен оси, а во втором случае линия действия вектора пересекает ось. Таким образом, если вектор параллелен оси или линия его действия пересекает ось, то момент вектора относительно оси равен нулю.

Рис. 57.

Этот вывод можно получить также из (13.9) или (13.10).

Пример. На рис. 57 изображен прямоугольный параллелепипед со сторонами см. По диагонали действует сила Р, равная по модулю

Определить момент этой силы относительно точки О и ее момент относительно оси ОС.

Построим на сторонах параллелепипеда систему координатных осей (рис. 57) и найдем проекции силы Р на эти оси.

Имеем

Согласно (13.13) или (13.14) получим

Отсюда

Для определения момента относительно оси найдем длину диагонали параллелепипеда а затем направляющие косинусы:

Пользуясь теперь формулой (13.12), будем иметь:

При вычислениях мы взяли на линии действия вектора Р точку . Читателю полезно проверить, что результаты не изменятся, если на линии действия вектора Р выбрать любую другую точку, например точку .