5. Уравнение плоскости.

В качестве примера дадим вывод уравнения плоскости в пространстве. Положение плоскости в пространстве будет вполне определено, если задать одну точку через которую проходит плоскость, и нормальный вектор , т. е. вектор, перпендикулярный к плоскости (рис. 41). Возьмем на плоскости произвольную точку М, положение которой будем определять радиусом-вектором и построим вектор Этот вектор лежит в плоскости, поэтому он будет перпендикулярен к нормальному вектору и скалярное произведение этих Лекторов должно равняться нулю, т. е.

или

Векторы заданы, поэтому их скалярное произведение есть вполне определенное число. Если обозначить его через — то последнее равенство примет вид

Поскольку точка на плоскости выбрана произвольно, то этому равенству удовлетворяет не один радиус-вектор а бесчисленное их множество, причем все они определяют

точки, лежащие на плоскости. С другой стороны, радиусы-векторы точек, не лежащих на данной плоскости, не удовлетворяют этому уравнению, так как в этом случае вектор не будет лежать в плоскости и скалярное произведение не будет равно нулю. Поэтому (8.15) является векторным уравнением плоскости, причем заданный нормальный вектор, — заданное число и текущий радиус-вектор точек плоскости.

Рис. 41.

Из уравнения плоскости в векторной форме легко получить уравнение плоскости в координатах. Действительно, пусть проекции нормального вектора на оси координат будут соответственно равны А, В, С (так как вектор задан, то и числа А, В, С являются вполне определенными) Проекции радиуса-вектора точки М равны х, у и z (см. (7.5)), а проекции вектора будут где — координаты точки М и соответственно. Поэтому, если применить к (8.14) и (8.15) формулу (8.10), то получим следующие уравнения плоскости в координатной форме:

причем последнее уравнение называется общим уравнением плоскости.

Сделанный вывод общего уравнения плоскости полезен не только своей простотой, но также и геометрическим следствием: коэффициенты при переменных в общем уравнении плоскости равны соответствующим проекциям вектора, нормального к плоскости. Из этого обстоятельства вытекает целый ряд следствий. Приведем некоторые из них.

Даны две плоскости (т. е. даны их уравнения):

Требуется определить угол между ними, условия перпендикулярности и параллельности.

Очевидно, что угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами; если плоскости взаимно перпендикулярны (или параллельны), то будут перпендикулярны (или параллельны) их нормальные векторы. Так как нормальные векторы данных плоскостей равны то будем иметь

1) угол между плоскостями — см. (8.12):

2) условие перпендикулярности плоскостей — см. (8.11):

3) условие параллельности плоскостей — см. (7.12):

Почти столь же просто можно с помощью векторной интерпретации решить и другие аналогичные задачи аналитической геометрии.

6. Проекция вектора на ось как скалярное произве дение вектора на орт оси. Рассмотрим вектор а и ось проекций, направление которой будем определять ее ортом .

Воспользуемся формулой (8.20 учитывая при этом, что

или в других обозначениях:

т. е. проекция вектора на ось равна скалярному произведению вектора на орт оси проекций.

Пусть вектор а и орт заданы своими проекциями на оси прямоугольной системы координат где и — направляющие углы орта оси проекций (имеем: . Тогда формуле (8.18) можно придать вид (см. (8.10))

Формулы (8.18) и (8.19) дают возможность вычислить проекцию любого вектора а на ось, занимающую произвольное положение в пространстве.

Пользуясь формулой (8.18), составим проекции вектора на оси координат

Эти выражения для проекций вектора на оси координат позволяют придать другой вид формуле разложения вектора по координатным ортам: