3. Свойства суммы векторов.
Важно отметить, что сумма векторов не зависит от порядка построения многоугольника вектора, т. е. для суммы векторов справедлив переместительный (коммутативный) закон. Для доказательства этого утверждения рассмотрим более подробно сложение двух векторов 
Выберем точку О полюсом и построим сначала вектор 
а затем вектор 
а. Если это построение выполнить на одном чертеже, начав его в обоих случаях из одной точки О, то легко видеть (рис. 7), что конец вектора 
в первом построении будет совпадать с концом вектора а во втором построении (полученная фигура будет параллелограммом — противоположные стороны, по определению равенства векторов, равны и параллельны). Поэтому замыкающий вектор 
многоугольника векторов а 
будет совпадать с замыкающим вектором 
многоугольника векторов 
, последовательно, для суммы двух векторов переместительный (коммутативный) закон справедлив
Рис. 7.
Так как при сложении любой пары векторов в равенстве (2.1) имеет место закон переместительности, то и сумма 
векторов также обладает этим свойством.
Пример. На рис. 8 дано построение суммы трех векторов а, b и с, образующих стороны прямоугольного параллелепипеда, причем в одном случае строится сумма 
, а в другом 
. В обоих случаях построение начинается из одной толки О; суммы векторов, как и следует из общей теории, одинаковы (одинаковы замыкающие векторы), но многоугольники векторов разные 
и 
Сумма векторов обладает и сочетательным (ассоциативным) свойством, что легко установить непосредственно из определения суммы.
Рис. 8.
Рис. 9.
Так, на рис. 9 показана сумма пяти векторов
и суммы 
причем видно, что
В случае коллинеарности слагаемых векторов векторный многоугольник располагается на одной прямой и модуль суммы векторов будет равен алгебраической сумме их модулей (нужно учитывать направления векторов). Если же векторы, кроме того, направлены в одну сторону, то модуль суммы будет равен арифметической сумме их модулей.
