7. Взаимные реперы.
Рассмотрим репер, образованный тремя некомпланарными векторами
. Поставим
следующий вопрос: нельзя ли, зная векторы
, найти другой репер
, который был бы связан с исходным следующей таблицей скалярных произведений:
Рассмотрим один вектор второго репера, например а. Согласно таблице (10.21), будем иметь
Из двух последних равенств следует, что вектор а одновременно перпендикулярен к векторам
, следовательно, он коллинеарен вектору
:
где X — некоторое число. Для определения X внесем найденное значение для а в равенство
или
Отсюда
Пользуясь (10.22), найдем (выражения для
и с получены круговой перестановкой):
Эти формулы решают поставленную задачу. Очевидно, что если считать заданным репер
, то репер
с определится по аналогичным формулам
что следует из симметричности таблицы (10.21),
Таким образом, каждому реперу
с однозначно соответствует другой репер
, связанный с первым таблицей (10.21). Такие два репера называются взаимными.
Непосредственно из определения таблицы (10.21) следует, что если репер состоит из единичных взаимно перпендикулярных векторов, то он будет сам себе взаимным; обратное утверждение тоже справедливо, т. е. если
и
, то векторы
с единичны и взаимно перпендикулярны.
Пользуясь векторами взаимного репера, формуле (10.15) можно придать более простой вид — формула Гиббса:
Формула Гиббса является обобщением формулы разложения вектора по координатным ортам (8.21).