7. Взаимные реперы.

Рассмотрим репер, образованный тремя некомпланарными векторами . Поставим

следующий вопрос: нельзя ли, зная векторы , найти другой репер , который был бы связан с исходным следующей таблицей скалярных произведений:

Рассмотрим один вектор второго репера, например а. Согласно таблице (10.21), будем иметь

Из двух последних равенств следует, что вектор а одновременно перпендикулярен к векторам , следовательно, он коллинеарен вектору :

где X — некоторое число. Для определения X внесем найденное значение для а в равенство

или

Отсюда

Пользуясь (10.22), найдем (выражения для и с получены круговой перестановкой):

Эти формулы решают поставленную задачу. Очевидно, что если считать заданным репер , то репер с определится по аналогичным формулам

что следует из симметричности таблицы (10.21),

Таким образом, каждому реперу с однозначно соответствует другой репер , связанный с первым таблицей (10.21). Такие два репера называются взаимными.

Непосредственно из определения таблицы (10.21) следует, что если репер состоит из единичных взаимно перпендикулярных векторов, то он будет сам себе взаимным; обратное утверждение тоже справедливо, т. е. если и , то векторы с единичны и взаимно перпендикулярны.

Пользуясь векторами взаимного репера, формуле (10.15) можно придать более простой вид — формула Гиббса:

Формула Гиббса является обобщением формулы разложения вектора по координатным ортам (8.21).