§ 16. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ ВЕКТОРОВ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Теорема. Система свободных векторов эквивалентна равнодействующему вектору, равному главному вектору системы.

Доказательство. Пусть свободные векторы приложены в точках соответственно. Тогда, пользуясь (15.1) и (15.6), последовательно получим

где

и А — любая точка пространства.

Следствие. Для того чтобы система свободных векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы сумма векторов, составляющих данную систему, равнялась нулю.

Эта теорема и следствие по существу полностью решают вопрос о приведении системы свободных векторов к простейшему виду, а именно: либо систему свободных векторов можно заменить одним вектором, либо она уравновешена (эквивалентна нулю).

Пример. В механике доказывается, что при поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковую скорость, т. е. скорость в поступательном движении есть свободный вектор.

Пусть твердое тело участвует одновременно в поступательных движениях и — скорость поступательного движения с номером Тогда на основании доказанной теоремы можно утверждать, что результирующее движение тела есть поступательное движение, скорость которого равна сумме (векторной) скоростей составляющих движений: