4. Прямая как пересечение двух плоскостей.

Очевидно, что прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Поэтому совокупность двух уравнений (см. (8.15))

определяет прямую. Эти уравнения прямой не имеют преимуществ одного уравнения в параметрической форме (11.2), или уравнения в плюкеровой форме, так как члены этого уравнения непосредственно с прямой не связаны и не выражают прямо какие-либо ее элементы. Поэтому целесообразно показать, как перейти от двух уравнений (11.12) к одному уравнению (11.2) или (11.6).

Рис. 51.

Найдем прежде всего направляющий вектор параллельный линии пересечения данных плоскостей. Вектор перпендикулярен первой плоскости, а — второй. Вектор перпендикулярен к , следовательно, параллелен обеим плоскостям одновременно, т. е. он будет параллелен линии пересечения плоскостей (рис. 51). Поэтому за направляющий вектор можно взять вектор

и уравнение прямой в плюкеровой форме будет

Для определения вектора раскроем в левой части этого равенства двойное векторное произведение (см. (10.13))

Из уравнений (11.12) имеем

Отсюда

и плюкерово уравнение прямой примет вид

Это одно уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений (11.12). Пользуясь теперь (11.8), его можно привести к параметрической форме