4. Центр системы параллельных векторов.

Рассмотрим систему параллельных векторов Обозначим через точку приложения вектора

Пусть орт определяет направление векторов, входящих в систему. Тогда

причем знак плюс берется в том случае, когда направления вектора и орта совпадают, и знак минус, когда направления этих векторов противоположные.

Будем считать, что главный вектор данной системы векторов не равен нулю:

и, следовательно, система имеет равнодействующий вектор параллельный данным векторам:

причем его линия действия строго определена и может быть построена по уравнениям (21.5). Предположим, что мы, сохраняя параллельность, повернем все векторы вокруг их точек приложения (это равносильно повороту направляющего орта При такой операции равнодействующий вектор не изменит своей величины, но его линия действия займет новое положение в пространстве. Таким образом, каждому направлению орта а тем самым и векторов а соответствует своя линия действия равнодействующего вектора Возникает вопрос, имеет ли вся совокупность этих линий общую точку? Если такая точка существует, то, очевидно, она будет обладать замечательным свойством: при вращении всех векторов авокруг их точек приложения

(предполагается, что при этом сохраняется их параллельность) линия действия равнодействующего вектора будет вращаться вокруг этой точки, оставаясь все время параллельной векторам а Докажем, что такая точка, называемая в дальнейшем центром параллельных векторов, существует (естественно, что центр системы параллельных векторов принимают за точку приложения равнодействующего вектора

Пусть — радиус-вектор точки приложения вектора (т. е. точки радиус-вектор центра системы параллельных векторов (предполагаем, что он существует). Применим теорему Вариньона, выбрав за полюс, относительно которого вычисляются моменты, центр системы параллельных векторов. Тогда момент равнодействующего вектора будет равен нулю (он приложен к этой точке), и следовательно (см. (20.17)):

так как

Рис. 69.

Внесем в последнее равенство значение а, определяемое выражением (21.7), и учтем при этом, что (рис. 69). Тогда получим

или, вынося общий множитель за знак суммы,

Так как по определению центра системы параллельных векторов это уравнение должно выполняться при любом направлении орта то первый множитель должен равняться нулю (см. (9.3)):

Отсюда

и, следовательно,

(по условию сумма, стоящая в знаменателе, не равна нулю).

Решение получилось впцлне определенное, поэтому центр системы параллельных векторов существует и он единствен.

Векторное равенство, определяющее радиус-вектор центра системы параллельных векторов, эквивалентно трем координатным равенствам:

Естественно, что если все векторы направлены в одну сторону, то эти формулы будут содержась только знак плюс.

Пример. Найти центр двух параллельных векторов, направленных в одну сторону. Имеем

т. е. центр двух параллельных векторов, направленных в одну сторону, делит внутренним образом отрезок, соединяющий точки приложения данных векторов, на части, обратно пропорциональные модулям данных векторов (см. п. 7 § 7, стр. 54). Если векторы направлены в разные стороны, то точка С делит отрезок внешним образом.