4. Свойства векторного произведения.

Векторное произведение не обладает переместительным свойством. Рассмотрим два векторных произведения и а. Очевидно, что модули векторов-произведений и линии действия совпадают для обоих произведений (следует из определения произведения), но стороны действия прямо противоположны. Действительно, если со стороны

вектора переход вращением на наименьший угол от а к виден против хода часовой стрелки, то аналогичный переход от к а виден против хода часовой стрелки с противоположного направления (см. рис. 47).

Рис. 46.

Рис. 47.

Таким образом, векторы и равны по величине действуют по одной прямой, но направлены в противоположные стороны, т. е. и переместительный закон для векторного произведения не справедлив. Из приведенного рассуждения следует также важное свойство векторного произведения: при перемене мест сомножителей вектор-произведение изменяет направление на противополюжное или иначе: при перемене мест сомножителей векторное произведение умножается на —1:

Сочетательное свойство. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя:

Распределительное свойство. Для векторного произведения справедливо распределительное свойство

Два последних свойства легко доказать, пользуясь правилом Н. Е. Жуковского. Докажем, например, последнее свойство. На основании (9.7) имеем

Так как операции обладают распределительным свойством (см. (6.1) и (9.8)), то

Внося это в предыдущее выражение, получим

Согласно (9.7) , следовательно, равенство (9.11) справедливо.

Пользуясь доказанными свойствами векторного произведения, можно векторные многочлены перемножать (век-торно), как обычные многочлены, нужно только соблюдать порядок множителей, а в случае их перестановки следует применять равенство (9.9). Кроме того, нужно помнить, что вгкторный квадрат вектора равен нулю (см. (9.2)). Пример.

Заметим, что формулы сокращенного умножения здесь совершенно неприменимы. Например: