или
Учтем теперь, что скалярное произведение векторов 
и 
равно нулю (так как эти векторы взаимно перпендикулярны). Поэтому
т. е. скалярное произведение главного момента системы векторов на главный вектор той же системы не зависит от выбора полюса. На этом основании вторым инвариантом системы векторов называют скалярное произведение главного вектора на главный момент
или в проекциях
где 
- проекции главного момента, вычисленного относительно произвольной точки пространства, например относительно начала координат, и 
— проекции главного вектора.
Непосредственно из определений следует, что инварианты системы векторов 
являются одновременно инвариантами и относительно преобразований осей (см. (12.1) и (12.2)), однако смешивать эти понятия нельзя.
При главном векторе 
отличном от нуля, второму инварианту можно дать очень простую геометрическую интерпретацию. На основании определения скалярного произведения второй инвариант можно записать в следующей форме:
где — угол между векторами 
и 
Так как главный вектор 
не связан с выбором точки О, то выражение
не зависит от выбора полюса. С другой стороны, произведение 
равно проекции главного момента на направление главного вектора. Поэтому при 
проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от выбора полюса О, относительно которого
вычисляется главный момент 
(рис. 59), но сам главный момент 
зависит от выбора полюса.
Рис. 59.
Величина этой проекции определяется формулой
или
и вычислим главный вектор системы 
Очевидно, что величина и направление главного вектора не зависят от того, в какой точке пространства мы выберем его начало (по определению главного вектора). Поэтому главный вектор называют первым инвариантом системы векторов.
и вычислим относительно этих точек главные моменты 
Очевидно, что 
моменты будут, вообще геворя, различны (см. (14.10) и следствия). Составим скалярное произведение 
и воспользуемся выражением (14.11)
