7. Теорема о проекции сумммы векторов.

При установлении свойств проекций вектора было показано, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составляющих векторов. Это было обосновано простыми геометрическими соображениями для составляющей суммы по оси. Ввиду фундаментальной важности этой теоремы, приведем для нее другое доказательство.

Пусть дано векторов Построим многоугольник векторов и замыкающий вектор (сумму векторов). Обозначим начало первого вектора его конец — конец второго вектора — (начало второго вектора ит. конец последнего вектора Тогда начало суммы векторов будет в точке а конец в (по определению суммы векторов).

Рис. 27.

Проведем произвольную ось х и обозначим через координату точки через координату точки (рис. 27). Учитывая, что проекция вектора на ось равна разности координат конца и начала (см. (6.11)), получим следующее выражение для проекции замыкающего вектора (суммы векторов)

С другой стороны, для проекций составляющих векторов на основании того же правила будем иметь:

Сложим правые и левые части этих равенств

(все остальные члены попарно уничтожаются). Сравнивая с выражением для получим

что и доказывает теорему.