3. Способ Н. Е. Жуковского построения векторного произведения.

Имеется очень простой и наглядный способ построения векторного произведения (рис. 45).

Рис. 45.

Проведем плоскость перпендикулярно к первому вектору-сомножителю а. Спроектируем второй вектор-сомно-житель на плоскость и построим составляющую вектора по плоскости (см. § 6, п. 1, стр. 32). Составляющую повернем вокруг а на 90° против хода часовой стрелки и операцию поворота обозначим звездочкой наверху; в нашем

случае повернутая составляющая будет Умножим вектор на модуль а; полученный вектор будет равен а Действительно,

Так как вектор получен из простым поворотом, то Кроме того, Следовательно,

Докажем теперь, что векторы и совпадают не только по величине, но и направлению. Вектор (он лежит в плоскости перпендикулярной к а), и вектор (по построению). Отсюда следует, что (так как вектор лежит в плоскости векторов Осталось показать, что тройка векторов а, b и является правой. Но это следует из направления поворота составляющей (см. рис 45). Таким образом, доказано, что построенный вектор равен вектору-произведению

Закончим изложение метода Н. Е. Жуковского замечанием, что обе операции, лежащие в его основе (операция построения составляющей вектора по плоскости и операция поворота), обладают распределительным свойством. Для первой из этих операций это было уже доказано (см. Наличие распределительного свойства для второй операции очевидно, так как при операции т. е. операции поворота, параллелограмм векторов поворачивается как твердое тело (см. рис. 46). Поэтому