7. Изменение проекций вектора при преобразовании координат.

Пусть вектор а задан своими проекциями в прямоугольной системе координат Произведем преобразование координат и определим проекции того же вектора а в новой прямоугольной системе

Прежде всего заметим, что если преобразование координат состоит в параллельном переносе, то проекции вектора останутся без изменения, т. е. проекции вектора в новой системе будут равны соответствующим проекциям вектора в старой системе (см. первое свойство п. 4 § 6, стр. 35). Поэтому представляет интерес только случай поворота осей.

Пусть новая система прямоугольных осей xyz определяется ортами , направление которых относительно старых осей будем определять таблицей косинусов где — косинусы углов между соответствующими осями; например,

Из девяти величин, составляющих эту таблицу, независимых только три, так как они подчинены шести условиям (условия единичности и условия перпендикулярности

Согласно (8.20) имеем

или в силу (8.19)

Формулы (8.23) или (8.24) решают поставленную задачу.

Естественно, что, пользуясь той же таблицей, легко получить и формулы обратного перехода:

Если система плоская, то, обозначив угол через а, будем иметь (рис. 42):

и формулы (8.25) примут вид