2. Двойное векторное произведение.
Составим из трех векторов а, b и с произведение (оно называется двойным векторным произведением)
Прежде всего заметим, что в результате такого двойного векторного произведения должен получиться вектор. В самом деле, произведение 
с определяет некоторый вектор, который после умножения слева векторно на а дает снова вектор.
Векторы Ь, с и 
компланарны, так как по определению векторного произведения они перпендикулярны к вектору 
с. Поэтому вектор а 
можно разложить по 
и с (см. выражение (4.1)):
где 
— неизвестные коэффициенты разложения.
Для определения 
умножим скалярно обе части равенства (10.11) на вектор а. Так как 
, то слева скалярное произведение будет равно нулю и, следовательно,
Этому равенству можно придать вид
где 
— общее значение данных отношений. Отсюда
Внесем эти значения коэффициентов разложения в (10.11).
Покажем теперь, что параметр 
не зависит от векторов-сомножителей а, b и с. Предположим обратное и применим
равенство (10.12) к векторам 
произвольный, но фиксированный вектор). Тогда, обозначив через 
и 
соответствующие параметры, будем иметь:
Сложим первые два равенства и сгруппируем члены
Сравнивая последние два выражения, а затем коэффициенты при одинаковых векторах, получим
Отсюда, учитывая произвольность вектора х (см. (8.5)), найдем
и, следовательно,
что доказырает независимость 
от первого множителя (аналогично можно доказать, что 
не зависит и от двух других множителей).
Так как параметр 
не зависит от а, b и с, то для его определения можно выбрать любые векторы, в частности такие, произведения которых вычисляются непосредственно, например 
Тогда согласно (10.12) будем иметь:
С другой стороны, пользуясь (9.13) и (8.4), получим: 
и последнее равенство принимает вид
Отсюда
Внося это значение 
в (10.12), окончательно найдем
Для запоминания правой части этой формулы ее удобно читать так: «бац минус цаб» - нужно только помнить, что в левой части вектор а умножается на 
.
Составим теперь произведение 
. На основании (10.13) последовательно получим:
или окончательно:
Формулам (10.13) и (10.13) можно придать следующую общую словесную формулировку: двойное векторное произведение равно среднему 
занимаемому месту) вектору, умноженному на скалярное произведение двух крайних, минус другой вектор скобки, умноженный на скалярное произведение оставшихся векторов.
Из сложных произведений векторов смешанное и двойное векторное произведения встречаются наиболее часто.
Кратко остановимся на некоторых других формулах векторной алгебры.
