2. Двойное векторное произведение.

Составим из трех векторов а, b и с произведение (оно называется двойным векторным произведением)

Прежде всего заметим, что в результате такого двойного векторного произведения должен получиться вектор. В самом деле, произведение с определяет некоторый вектор, который после умножения слева векторно на а дает снова вектор.

Векторы Ь, с и компланарны, так как по определению векторного произведения они перпендикулярны к вектору с. Поэтому вектор а можно разложить по и с (см. выражение (4.1)):

где — неизвестные коэффициенты разложения.

Для определения умножим скалярно обе части равенства (10.11) на вектор а. Так как , то слева скалярное произведение будет равно нулю и, следовательно,

Этому равенству можно придать вид

где — общее значение данных отношений. Отсюда

Внесем эти значения коэффициентов разложения в (10.11).

Покажем теперь, что параметр не зависит от векторов-сомножителей а, b и с. Предположим обратное и применим

равенство (10.12) к векторам произвольный, но фиксированный вектор). Тогда, обозначив через и соответствующие параметры, будем иметь:

Сложим первые два равенства и сгруппируем члены

Сравнивая последние два выражения, а затем коэффициенты при одинаковых векторах, получим

Отсюда, учитывая произвольность вектора х (см. (8.5)), найдем

и, следовательно,

что доказырает независимость от первого множителя (аналогично можно доказать, что не зависит и от двух других множителей).

Так как параметр не зависит от а, b и с, то для его определения можно выбрать любые векторы, в частности такие, произведения которых вычисляются непосредственно, например Тогда согласно (10.12) будем иметь:

С другой стороны, пользуясь (9.13) и (8.4), получим: и последнее равенство принимает вид

Отсюда

Внося это значение в (10.12), окончательно найдем

Для запоминания правой части этой формулы ее удобно читать так: «бац минус цаб» - нужно только помнить, что в левой части вектор а умножается на .

Составим теперь произведение . На основании (10.13) последовательно получим:

или окончательно:

Формулам (10.13) и (10.13) можно придать следующую общую словесную формулировку: двойное векторное произведение равно среднему занимаемому месту) вектору, умноженному на скалярное произведение двух крайних, минус другой вектор скобки, умноженный на скалярное произведение оставшихся векторов.

Из сложных произведений векторов смешанное и двойное векторное произведения встречаются наиболее часто.

Кратко остановимся на некоторых других формулах векторной алгебры.