3. Выражение скалярного произведения через проекции векторов.

Пусть вектор а имеет проекции а вектор — проекции Тогда на основании формулы разложения вектора по координатным ортам (7.4) можно написать

Составим скалярное произведение этих векторов:

или, раскрывая скобки,

Учтем теперь (8.4). Тогда получим

т. e. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных проекций.

Из этого выражения можно получить несколько весьма полезных следствий.

Условие перпендикулярности двух векторов. Для того чтобы два отличных от нуля вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо а достаточно, чтобы сумма произведений их одноименных проекций равнялась нулю:

(непосредственно следует из (8.10) и второго свойства скалярного произведения — см. стр. 56).

Угол между двумя векторами. Сравнивая правые части равенств (8.1) и (8.10), получим

Кроме того, на основании (7.8)

Следовательно, угол между двумя векторами может быть определен из формулы

Прежде чем рассмотреть несколько примеров, заметим, что в определение скалярного произведения (8.1) входят множители, не зависящие от того, являются ли векторы свободными, скользящими или связанными, поэтому все выражения, полученные в этом параграфе, имеют общий характер.

Пример. На рис. 40 изображен прямоугольный параллелепипед в котором и Определить угол между диагональю параллелепипеда и диагональю его боковой грани

Рис. 40.

Обозначим искомый угол через введем векторы и и на сторонах параллелепипеда построим систему координат с началом в точке А. Тогда, так как параллелепипед прямоугольный, будем иметь:

Пользуясь (8.12), получим