3. Плюкерово уравнение прямой в пространстве.

Условие параллельности двух векторов и можно, пользуясь векторным произведением, записать в виде

или, раскрывая скобки,

где вектор равен:

Из определения момента (см. (9.5)) видно, что вектор равен моменту вектора относительно начала координат в предположении, что вектор приложен в точке

Уравнению (11.6) удовлетворяют радиусы-векторы всех точек, лежащих на прямой, поэтому это уравнение будет уравнением прямой (оно называется плюкеровым уравнением по имени геометра Плюкера).

В уравнении (11.6) векторы и связаны с точкой равенством (11.7). Поэтому естественно возникает вопрос, определяет ли уравнение (11.6) при произвольных, но взаимно перпендикулярных векторах некоторую прямую в пространстве. Для того чтобы ответить на этот вопрос утвердительно, достаточно показать, что уравнение (11.6) можно привести к виду (11.2). С этой целью умножим обе части этого уравнения слева векторно на

Воспользуемся формулой (10.13):

Скалярное произведение определяет некоторое число, которое при переменных будет переменным. Обозначим это число через Тогда последнее равенство можно записать следующим образом:

Это уравнение совпадает с (11.2), если только положить

Пример. Даны два взаимно перпендикулярных вектора и . Написать уравнения прямой, параллельной вектору в форме (11.3).

Имеем (см. (9.17) и примеры):

т. е. и уравнения (11.3) будут

К вопросу о переходе от плюкеровой формы уравнения прямой к параметрической форме, а затем к координатной

форме (11.3) можно подойти иначе. Для того чтобы написать уравнение прямой в форме (11.2) или (11.3), нужно определить только одну точку лежащую на данной прямой (направляющий вектор задан). Для определения точки заметим, что проекции вектора выражаются через проекции векторов формулами (9.15):

где — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Легко видеть, что из этих трех уравнений независимых только два. Это следует из того, что ранг расширенной матрицы системы

равен двум (при вычислении определителей необходимо иметь в виду, что в силу ортогональности векторов и между их проекциями существует следующая зависимость:

Так как точка — любая на прямой, то выберем одну координату произвольно, например, положим это означает, что мы выбрали точку пересечения прямой с плоскостью Подставим это значение выбранной координаты в уравнения (11.11) и найдем две остальные координаты. Таким образом, будут найдены координаты точки т. е. будет найден радиус-вектор и можно будет сразу написать уравнение (11.2) или (11.3).

Пример. Даны два. взаимно перпендикулярных: вектора . Написать уравнения прямой в форме (11.3).

Уравнения (11.11) имеют вид

Положим тогда Следовательно, и уравнения прямой в форме (11.3) будут

Эти уравнения и уравнения (11.10) определяют одну и ту же прямую. Отличие их состоит в том, что выбраны разные начальные точки.