2. Свойства скалярного произведения.

Следующие свойства скалярного произведения вытекают непосредственно из определения и формулы (8.1).

1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то либо один из векторов-сомножителей равен нулю, либо они взаимно перпендикулярны. Таким образом, равенство

не влечет за собой обязательного равенства нулю одного из векторов — оно возможно и при

2. Для того чтобы два не равных нулю вектора была взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

3. Скалярное произведение положительно, если угол между векторами острый, и отрицательно, если этот угол тупой.

Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение двух равных векторов

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Следствие. Скалярный квадрат единичного вектора равен единице.

На основании свойств 2 и 4 скалярные произведения координатных ортов к будут равны:

Как было уже замечено (первое свойство), из равенства нулю скалярного произведения еще не следует, что один из векторов-сомножителей равен нулю. Однако если известно, что равенство

выполняется при любом векторе х, то можно утверждать, что вектор а равен нулю. Действительно, если предположить, что то можно взять такой вектор , который составляет с вектором а угол, отличный от прямого (это можно сделать, так как вектор х — произвольный). При таком выборе вектора х скалярное произведение , что противоречит условию.

5. Переместительное свойство

Это свойство непосредственно вытекает из равенства (8.1) и определения угла между векторами.

6. Сочетательное свойство по отношению к числовому множителю

что можно словами выразить следующим образом: вместо того, чтобы умножить скалярное произведение на число, достаточно умножить на это число один из векторов-сомножителей.

Доказательство. Согласно (8.2) имеем:

Но на основании (6.7)

Следовательно,

что и требовалось доказать.

7. Распределительнбе свойство

т. е. скалярное произведение вектора на сумму векторов равно сумме скалярных произведений данного вектора на слагаемые векторы.

Доказательство. На основании (8.2)

но проекция суммы векторов равна сумме проекций, т. е. . Следовательно,

Так как для чисел распределительное свойство справедливо, то

Согласно (8.2)

Внося последние выражения в равенство (8.9), получим (8.8).

Естественно, что распределительное свойство скалярного произведения, доказанное для двух слагаемых векторов, справедливо и для любого числа слагаемых.

На основании сочетательного и распределительного свойств следует, что векторные многочлены можно скалярно перемножать, как обычные алгебраические многочлены, применяя, в частности, формулы сокращенного умножения. Приведем примеры.

Пример 1.

где а — угол между векторами а и Ь.

Пример 3.

Пример 4. Докажем теорему косинусов. Построим на сторонах треугольника (рис. 39) векторы и Тогда вектор будет равен

Возводя обе части этого равенства в скалярный квадрат, получим

Угол между равен С (в обычных обозначениях тригонометрии), и поэтому

что выражает теорему косинусов.

Рис. 39.

В заключение заметим, что из равенства двух скалярных произведений с общим множителем, т. е. из равенства

не следует, что равны вторые множители. Действительно, это равенство можно переписать в виде

Отсюда либо и тогда либо Очевидно, можно подобрать бесчисленное множество не равных между собой векторов и с таких, чтобы вектор, равный их разности был перпендикулярен к данному вектору а.