2. Естественный способ задания свободного вектора.

Естественный способ основан на определении вектора. Сущность его состоит в том, что непосредственно задаются все элементы вектора: точка приложения (для несвободного вектора), линия действия, сторона действия и модуль. Это делается простым описанием (например, к свободному концу балки приложена сила в направленная вертикально вниз, и т. п.). Такой способ задания векторных величин удобен иногда в приложениях, но он страдает отсутствием общности. Чтобы избежать этого, вводят систему координат, относительно которой ориентируют вектор, и все элементы вектора определяют числами.

Рассмотрим прежде всего методы задания направления. Приведем вектор к началу прямоугольной системы координат (рассматривается свободный вектор) и возьмем на нем любую точку А, так что вектор оказывается направленным от О к А (рис. 29).

Рис. 29.

Опустим из точки А на плоскость перпендикуляр, который пересечет ее в точке В, и проведем прямую Угол между прямой и плоскостью обозначим 0 и будем отсчитывать его от плоскости до прямой считая положительным, если прямая составляет острый угол с положительным направлением оси и отрицательным, если прямая ОА составляет острый угол с отрицательным направлением оси в этих условиях угол может меняться в пределах от

до . Положение прямой в плоскости вполне определяется углом который отсчитывается от оси х до в положительном направлении меняется от до Очевидно, что два угла вполне определяют направление вектора (заметим, что угол называется иногда азимутом, а - углом цели).

Однако направление вектора чаще всего задают с помощью трех углов и у — углов между вектором и осями ответственно (рис. 30).

Рис. 30.

Эти углы называются направляющими углами вектора и они отсчитываются так, как об этом сказано в начале п. 5 § 6 (стр. 36). Как правило, рассматривают не сами углы и у, а их косинусы, которые называются направляющими косинусами вектора.

Установим связь между направляющими углами и углами . Для этого достаточно учесть, что угол между проекцией вектора на плоскость и осью у равен а угол между осью z и вектором равен (см. рис. 29). Тогда на основании формулы (6.12) будем иметь:

Так как направление вектора вполне определяется двумя углами , то между тремя направляющими углами должна существовать зависимость. Последняя устанавливается весьма просто. Возведем правые и левые части равенств (7.1) в квадрат и сложим их почленно

Легко видеть, что правая часть этого равенства равна единице. Действительно, объединяя первые два члена и учитывая известную формулу тригонометрии последовательно получим

Таким образом, между направляющими углами и у имеется следующая зависимость:

и из трех углов и у независимы только два.

Для полного определения вектора остается задать его модуль. Поэтому при естественном способе свободный вектор может быть задан скалярными величинами одним из следующих способов:

1) азимутом углом цели и модулем вектора а;

2) направляющими углами и у и модулем вектора а, причем из трех углов и у независимых только два.

Пример 1. Вектор составляет с осью х угол в 60° и с осью у угол в 45°. Определить, какой угол он составляет с осью

В данном примере Подставляя в (7.2), будем иметь:

Отсюда следовательно, .

Пример 2. Вектор составляет с осями координат равные углы. Определить их.

В этом случае Подставляя в (7.2), получим

Пример 3. Может ли вектор составлять с осью х угол в 30°, а с осью z угол в

Нет, не может, так как в этом случае мы имели бы: ,

что невозможно.