4. Линейная зависимость четырех векторов.
Покажем, что между любыми четырьмя векторами 
и 
трехмерного евклидова пространства существует линейная зависимость.
Действительно, если векторы а, b и с компланарны, то на основании теоремы 
они линейно зависимы, т. е. справедливо равенство
где хотя бы одно из чисел 
не равно нулю. Но тогда будет справедливо и такое равенство:
что доказывает линейную зависимость четырех векторов 
Если же векторы а, b и с не компланарны, то вектор 
можно всегда разложить по этим трем векторам (см. (4.3)):
или
Так как 
, то векторы 
и 
линейно зависимы.
Следствия теорем позволяют дать другое доказательство единственности разложений (4.1) и (4.3). Действительно, рассмотрим для примера разложение (4.3)
и предположим, что существует второе разложение вектора 
по тем же некомпланарным векторам а, b и с
где 
и 
— некоторые числа. Вычитая почленно из первого равенства второе, получим
Так как векторы а, b и с по условию не компланарны, то это равенство возможно только в том случае, если
т. е. 
, что доказывает единственность разложения.
