§ 9. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

1. Определение векторного произведения.

Рассмотрим два вектора, приведем их к одному началу и будем считать один из них первым, а другой вторым. Векторным произведением двух векторов называется новый вектор (вектор-произведение), определенный следующим образом)

1. Модуль вектора-произведения равен произведению модулей векторов-сомножителей на синус угла между ними (определение угла см. в п. 5 § 6, стр. 36).

2. Линия действия вектора-произведения перпендикулярна к обоим векторам-сомножителям.

3. Вектор-произведение направлен по линии действия в такую сторону, из которой переход вращением от первого вектора-сомножителя ко второму на наименьший угол виден против хода часовой стрелки (для правой системы).

4. Точка приложения вектора-произведения для свободных векторов-сомножителей может быть выбрана произвольно, а для скользящих и несвободных векторов она определяется физическим смыслом рассматриваемого вопроса.

Обозначается векторное произведение косым крестом X; слева ставится первый вектор-сомножитель, а справа второй вектор. Например, векторное произведение векторов , где а — первый множитель, записывается так:

Заметим, что в некоторых руководствах векторное произведение вектора а на вектор обозначается прямыми скобками:

На рис. 43 Показан вектор-произведение . В соответствии с определением имеем

Векторы а, b и a X b образуют правую тройку (для правой системы).

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие его свойства.

1) Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (так как в этом случае или . В частности, векторный квадрат равен нулю:

Рис. 43.

2) Для того чтобы два отличных от нуля вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю (из a X b = 0 следует: либо а = 0, либо b = 0, либо sin а = 0).

3) Если известно, что равенство

выполняется при любом векторе х, то можно утверждать, что вектор а равен нулю [см. аналогичное свойство для скалярного произведения (8.5)].

Действительно, если предположить, что то достаточно взять вектор и не параллельный а (это можно сделать, так как х — произвольный вектор). При таком выборе вектора х произведение что противоречит условию.

4) Размерность модуля вектора-произведения равна произведению размерностей модулей векторов-сомножителей.

Из этого следует, что вектор-произведение должен иметь другой масштаб, чем векторы-сомножители.

Численно в соответствующем масштабе модуль вектора-произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях (площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними).