1. Скорость точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой, вообще говоря, переменной скоростью со. Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в такую сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки (для правой системы). Возьмем в теле произвольную точку М; при вращении тела эта точка М описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Скорость точки направлена по касательной к этой окружности и по величине равна произведению модуля угловой скорости а) на расстояние от точки до оси вращения (рис. 44):
Рис. 44.
Выберем на оси вращения произвольную точку (полюс) и проведем из нее радиус-вектор точки Непосредственно из чертежа видно, что расстояние от точки М до оси вращения равно , где а — угол между и осью вращения, или . Следовательно,
Кроме того, и и из конца вектора скорости переход вращением на наименьший угол от со к виден против хода часовой стрелки. Поэтому вектор скорости равен век торному произведению:
причем точка приложения вектора-произведения совпадает с концом второго вектора-сомножителя
2. Момент вектора относительно точки. В физике важная роль принадлежит понятию о моменте вектора (момент силы, момент скорости, момент количества движения и т.
Моментом вектора а относительно произвольной точки пространства О называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения А, проведенного из полюса О, на вектор а:
где момент вектора а относительно точки О и (более подробно о моменте вектора см. § 13).
В соответствии с этим имеем:
а) момент силы относительно точки О:
б) момент скорости относительно полюса О:
(половина этого момента равна секторной скорости точки
в) момент количества движения материальной точки:
— масса точки).
Формулу (9.4) можно переписать в виде — см. (9.9)
или
т. е. скорость любой точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , равна моменту угловой скорости относительно выбранной точки.
Приведем еще два примера без подробных пояснений.
3. Электрон в магнитном поле. Сила с которой действует постоянное магнитное поле на электрон, равна
где — заряд электрона, — его скорость, Н — напряженность магнитного поля, с — электродинамическая постоянная. В данном случае векторное произведение, равное силе приложено к электрону.
4. Кориолисово ускорение. Если точка движется относительно некоторой перемещающейся системы отсчета, то помимо относительного и переносного ускорений возникает дополнительное поворотное ускорение, определяемое формулой
где — поворотное ускорение (ускорение Кориолиса), — угловая скорость вращения системы отсчета и — относительная скорость точки.