5. Разложение вектора-произведения по координатным ортам.

Постановка задачи: даны проекции векторов-сомножителей требуется определить проекции вектора а

Для решения этой задачи прежде всего составим всевозможные парные произведения координатных ортов Согласно (9.2)

Рассмотрим теперь произведение см. рис. 31. Модуль этого произведения равен единице Далее, вектор-произведение перпендикулярен к и т. е. он совпадает с осью Кроме того, этот вектор должен быть направлен в сторону положительного отсчета оси так как при этом векторы образуют правую тройку; следовательно,

Присоединяя к этому равенству еще два аналогичных выражения, получающихся из данного круговой перестановкой векторов, и пользуясь формулой (9.9), будем иметь:

Воспользуемся теперь формулой разложения вектора по координатным ортам (7.4)

и составим произведение

или, раскрывая скобки:

Учтем (9.12) и (9.13):

После группировки:

Эта формула определяет разложение вектора по координатным ортам и решает поставленную задачу. Действительно, при выводе формулы (7.4) было отмечено, что

коэффициенты при координатных ортах являются проекциями вектора на соответствующие оси. Следовательно:

Формуле (9.14) можно придать более простой и удобный для запоминания вид, если формально воспользоваться определителем третьего порядка

Раскрывая этот определитель по элементам первой строки, получим (9.14).

Проекции вектора на оси координат согласно (9.15) можно рассматривать как соответствующие алгебраические дополнения элементов первой строки и представить их в форме определителей второго порядка:

Существует простой способ составления проекций векторного произведения, основанный на формулах (9.17). Для этого нужно выписать соответствующие проекции обоих векторов-сомножителей друг под другом (сверху — проекции первого множителя, снизу — проекции второго). Для вычисления проекции вектора на ось х мысленно зачеркиваем первый столбец; оставшиеся четыре проекции образуют определитель второго порядка (он вычисляется в уме), равный Для вычисления или нужно

мысленно зачеркнуть соответственно второй и третий столбцы; при этом определитель, полученный при зачеркивании второго столбца, нужно взять с обратным знаком. Покажем это на примере.

Пример. Даны векторы . Выписываем эти векторы с их проекциями друг под другом:

Вычеркивая первый столбец, получим определитель второго порядка

Вычисляем этот рпределитель (он равен и приравниваем его

Затем вычеркиваем второй столбец и из оставшихся чисел снова составляем определитель второго порядка. Взятый с обратным знаком, он будет равен

Вычеркивая последний столбец, получим

Все вычисления можно производить в уме и результат выписывать сразу же внизу под вектором Ниже показан порядок записи для двух примеров:

Полученные результаты можно записать и следующим образом:

Естественно, что этот прием не вносит ничего принципиально нового по сравнению с вычислением векторного произведения с помощью определителя (9.16), но он позволяет сократить несколько запись.