§ 10. СЛОЖНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

1. Смешанное произведение трех векторов.

Рассмотрим три вектора с и составим произведение

В этом произведении вектор а сначала умножается векторно на а затем полученный вектор умножается скалярно на с. Такое произведение называется смешанным. Очевидно, что в результате должен получиться скаляр (последнее действие — скалярное произведение двух векторов и с). Вычислим это число, пользуясь тем, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных проекций — см. (8.10):

Внесем в это выражение значения проекций вектора из (9.15):

Правая часть этого равенства равна определителю третьего порядка:

что нетрудно проверить, разложив определитель, например, по элементам третьей строки.

Легко установить следующие основные свойства смешанного произведения.

а) Смешанное произведение не изменяется от перестановки действий, т. е.

Действительно, рассмотрим произведение

(эту перестановку множителей можно делать, так как скалярное произведение обладает свойством переместительности). Воспользуемся теперь (10.1), изменив соответственно данному случаю обозначения:

Переставим в этом определителе последнюю строку на место второй, а вторую на место третьей, затем вторую строку поставим на место первой, а первую на место второй. При каждой перестановке строк определитель меняет знак на обратный, поэтому при сделанных двух перестановках определитель не изменится, но в результате последний определитель будет совпадать с определителем (10.1), что доказывает равенство (10.2).

Это свойство дает основание обозначать смешанное произведение следующим сокращенным образом:

не уточняя без особой необходимости, где стоят знаки векторного и скалярного произведений. В соответствии с этим обозначением формула (10.1) примет вид

б) Смешанное произведение не изменяется от циклической (круговой) перестановки сомножителей:

Действительно, пользуясь свойством а) и переместительным свойством скалярного произведения, последовательно получим

в) От перестановки местами двух сомножителей, смешанное произведение, не изменяя своей абсолютной величины, меняет знак на противоположный:

Этсг свойство доказывается следующей цепочкой равенств:

г) Если два вектора коллинеарны, то смешанное произведение равно нулю. Действительно, пусть а и с коллинеарны. Имеем

так как векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю. В частности, если в смешанном произведении имеется два равных вектора, то оно равно нулю:

Смешанное произведение трех векторов имеет простой геометрический смысл — с точностью до знака оно равно объему параллелепипеда, построенного на данных векторах.

Рис. 48.

Для доказательства построим на данных векторах параллелепипед (предполагается, что векторы не компланарны) и вектор (рис. 48). Обозначим: — площадь основания параллелепипеда (основания, построенного на векторах — его высота и а — угол между векторами

Согласно определению скалярного произведения, имеем

Из рис. 48 видно, что с Следовательно,

что равно объему параллелепипеда.

На рис. 48 тройка векторов с является правой, в результате чего угол оказался острым и Если тройка векторов с будет левой, то угол а будет

тупым и . В этом случае произведение хотя и будет отрицательно, но по абсолютной величине оно равно высоте параллелепипеда Итак, можно сделать следующий вывод: смешанное произведение с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, причем это произведение будет положительно, если тройка данных векторов является правой, и отрицательно, если тройка векторов левая (при принятой правой системе):

Рассмотрим условия, при которых смешанное произведение трех векторов равно нулю. Очевидно, что это возможно в следующих случаях:

1) среди множителей имеется хотя бы один нулевой вектор;

2) если два (или все три) вектора коллинеарны — см. свойство г);

3) векторы а, b и с компланарны. Действительно, в этом случае с и, следовательно,

Третий случай по существу охватывает первые два случая, так как если среди трех векторов имеется хотя бы два коллинеарных или хотя бы один нулевой, то все три вектора компланарны (см. § 1, п. 7, стр. 15). Итак, для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю:

или, сравнивая с (10.3),

Таково необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов, выраженное через проекции. Условие (10.8) или, что то же самое, (10.9) является очень удобным и часто применяется в приложениях.

Пример. Даны три точки, не лежащие на одной прямой:

Написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Возьмем в плоскости произвольную точку и построим векторы и (рис. 49).

Рис. 49.

Все три вектора лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарны и их смешанное произведение равно нулю:

или

где — радиусы-векторы точек соответственно. Этому равенству удовлетворяют радиусы-векторы любых точек, лежащих на плоскости, и не удовлетворяют радиусы-векторы точек, не лежащих на плоскости (так как в последнем случае векторы не будут компланарны). Следовательно, (10.10) есть уравнение плоскости в векторной форме. Для того чтобы написать уравнение плоскости в координатной форме, достаточно воспользоваться формулой (10.9):

Заметим, что если точки лежат на одной прямой, то векторы будут коллинеарны и на основании свойства г) смешанного произведения равенство

(10.10), а следовательно, и (10.10) будет выполняться тождественно при любых т. е. при любых х, у и z. Геометрически это означает, что при этих условиях существует бесчисленное множество плоскостей, проходящих через данные три точки (через прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей).