3. Условие компланарности трех векторов.

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Достаточность. Пусть векторы и с линейно зависимы. Это означает, что будет справедливо равенство

причем среди чисел имеется хотя бы одно, не равное нулю. Пусть, например, это будет у. Тогда последнее равенство можно переписать так:

или

где Это равенство означает, что вектор с совпадает по величине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на векторах т. е. вектор с лежит в одной плоскости с векторами

Необходимость. Пусть векторы а, b и с компланарны. Рассмотрим сначала случай, когда а и b не параллельны. Тогда на основании теоремы разложения вектор с можно выразить через (см. (4.1)):

или Так как то векторы а, b и с линейно зависимы.

Пусть теперь векторы а и b коллинеарны. Тогда на основании теоремы они будут линейно зависимы, т. -будет справедливо равенство где среди чисел по крайней мере одно не равно нулю. Но тогда будет справедливо и такое равенство

т. е. векторы а, b и с линейно зависимы.

Следствие. Если известно, что три вектора а, b и с не компланарны, то равенство

возможно только в том случае, если все три числа равны нулю.