4. Система двух равнопротивоположных векторов.

Рассмотрим в качестве примера простейшую систему, состоящую из двух равных по величине, действующих по одной прямой, но противоположно направленных векторов где А и В — две произвольные точки на а (в частности, они могут совпадать). Так как совокупность этих двух векторов можно рассматривать как сумму двух взаимно противоположных систем, то главный вектор и главный момент этой системы равны нулю. Легко доказать, что справедливо и обратное утверждение, а именно: если главный вектор и главный момент системы двух векторов равны нулю, то эта система состоит из двух векторов, равных по величине, действующих по одной прямой и направленных в противоположные стороны. Действительно, пусть система состоит из двух векторов По условию главный вектор и главный момент этой системы равны нулю, т. е.

где О — произвольная точка пространства.

Из первого равенства имеем

и, следовательно, векторы равны по величине, параллельны и противоположно направлены. Осталось показать, что эти векторы не только параллельны, но и лежат на одной прямой. Для этого используем второе равенство, заменив в нем вектор на равный ему вектор — на а:

Отсюда

но разность векторов равна вектору Следовательно,

Из этого равенства следует, что векторы и а коллинеарны, т. е. прямая, соединяющая точка приложения векторов параллельна этим векторам. Это означает, что данные векторы не только параллельны, но и действуют по одной прямой. Таким образом, справедлива следующая теорема: для того чтобы главный вектор и главный момент системы двух векторов равнялись нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы имели равные модули, действовали по одной прямой и были бы направлены в противоположные стороны.