2. Приведение произвольной системы скользящих векторов к системе двух векторов (геометрическое решение).

Лемма. С помощью элементарных операций любую систему скользящих векторов всегда можно привести к двум векторам (среди них могут быть и нулевые).

Доказательство. Пусть — любые три скользящих вектора данной системы.

Рассмотрим сначала частный случай, когда хотя бы две линии действия векторов имеют по крайней мере одну общую точку (например, две линии пересекаются или сливаются). Пользуясь первой элементарной операцией, приведем соответствующие два вектора к общей точке их линий действия, а затем заменим эти векторы одним вектором, равным их сумме (третья элементарная операция). В результате три вектора будут приведены к двум векторам.

Рассмотрим теперь общий случай, когда линии действия векторов не имеют общих точек. Проведем через точку С (точка приложения третьего вектора две плоскости — плоскость содержащую вектор и плоскость содержащую будем считать вначале, что эти плоскости не совпадают. Так как плоскости содержат общую точку С и не совпадают, то они пересекаются по некоторой прямой Не нарушая общности, можно считать, что точки

приложения векторов не лежат на 8 (если А и В принадлежат 8, то, пользуясь первой элементарной операцией, переместим векторы вдоль линий их действия). Выберем на произвольную точку отличную от С, и соединим точки А и и (рис. 64); прямые и будут лежать в плоскости а прямые и — в плоскости

Рис. 64.

Применим четвертую элементарную операцию и заменим вектор его составляющими по СА и а вектор — составляющими по и

где

Тогда будем иметь:

Применим теперь первую элементарную операцию и перенесем векторы по их линиям действия в точку С, а векторы — в точку

В точке С сходятся три вектора: Пользуясь третьей элементарной операцией, заменим эти векторы

одним вектором

где

Аналогично, заменим векторы одним вектором

Следовательно,

т. е. с помощью элементарных операций три скользящих вектора приведены к двум векторам.

Это же доказательство остается в силе для случая, когда плоскости совпадают. Действительно, можно по-прежнему считать, что точки приложения векторов А, В и С не лежат на одной прямой, и тогда для доказательства леммы достаточно совместить точку с точкой А. При этом вектор разлагать не придется, а вектор нужно разложить по направлениям и затем первую составляющую перенести в точку А, а вторую в С.

Таким образом, окончательно доказано, что с помощью элементарных операций любые три скользящих вектора можно привести к двум (естественно, что среди них могут быть и нулевые).

Если система состоит из векторов то, выбрав сначала первые три вектора, приведем их к двум, уменьшив общее число векторов системы на единицу. Продолжая этот процесс, приведем данную систему векторов к системе двух векторов, что доказывает лемму.

Примечание 1. На основании первого свойства элементарных операций можно утверждать, что полученные два вектора будут эквивалентны данной системе.

Пр имечание 2. Указанная последовательность применения элементарных операций не является, очевидно, единственной; кроме того, и в данной последовательности имеются неограниченные возможности изменять результирующие векторы (например, путем выбора точки на ). Поэтому с помощью элементарных операций можно построить бесчисленное множество систем двух векторов, эквивалентных данной системе.

Примечание 3. Если данная система эквивалентна нулю, то два вектора, к которым она приводится, тоже эквивалентны нулю. На основании третьей аксиомы эти векторы равны по величине, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны, и следовательно, их можно отбросить (вторая элементарная операция). Таким образом, любая эквивалентная нулю система скользящих векторов с помощью элементарных операций приводится к нулевой системе. Это коротко можно записать следующим образом: если

то