11. Винт системы векторов.

Очевидно, что совокупность главного вектора и минимального момента системы векторов образует винт, который называется винтом данной системы векторов, причем за основание или ось винта системы принимают центральную ось системы. Легко видеть, что

параметр винта системы равен:

причем знак параметра винта определяется знаком второго инварианта Действительно, умножим обе части равенства (14.22) скалярно на Тогда

что на основании определения инвариантов системы дает формулу (14.24).

Для вычисления винта системы векторов требуется:

1. Вычислить главный вектор и главный момент системы векторов (О — начало координат).

2. Найти первый и второй инварианты системы (см. (14.12) и (14.130).

3. Определить параметр винта из равенства (14.24).

4. Найти точку на центральной оси по формуле (14.20).

Тогда винт системы будет определен своими координатами Обычно, кроме координат винта, вычисляют еще модуль амплитуды модуль момента (минимальный момент) и уравнение оси винта по формуле (14.19) или (14.190- Если система связана с некоторым объектом, то ось винта, как правило, ориентируют относительно этого объекта. Прежде чем рассмотреть пример, исследуем возможные частные случаи.

Случай 1. . В этом случае параметр винта и момент М равны нулю и винт вырождается в одну амплитуду

где определяется равенством (14.20). Ось вырожденного винта определяется обычным, способом.

Случай 2. . В этом случае главный момент системы одинаков для всех точек пространства, винт системы вырождается в один момент параметр винта равен бесконечности, за ось винта можно принять любую прямую, параллельную главному моменту.

Случай 3. . В этом случае винт системы равен нулю.

Случай 4. — общий случай. Винт состоит из двух векторов и М, параметр винта равен конечному числу, отличному от нуля, и ось винта определяется обычным путем.

Рассмотрим пример, который проиллюстрирует изложенный здесь материал.

Пример. По ребрам куба со стороной а действуют двенадцать равных по величине скользящих векторов, как показано на рис. 61, а. Определить винт этой системы.

Рис. 61.

Найдем прежде всего проекции главного вектора и главного момента относительно начала координат (см. (14.20 и (14.60) При вычислении проекции главного момента нужно учитывать (13.14), а также условия, при которых момент вектора относительно оси равен нулю — см. стр. 108.

Поясним вычисления проекций главного момента. Так, например, вектор пересекает оси х и у и параллелен оси (в частном случае — совпадает), поэтому его моменты относительно всех трех осей равны нулю (первые слагаемые в выражениях для Вектор пересекает ось у и параллелен оси поэтому восьмые слагаемые в выражении для равны нулю; момент относительно оси х вычисляем по формуле (13.14) — он равен (восьмое слагаемое в

Таким образом, главный вектор системы векторов и главный момент относительно начала координат определены своими проекциями

Найдем инварианты системы и параметр винта (см. (14.12), (14.13) и

Так как параметр винта положителен, то амплитуда винта (главный вектор) и его момент (минимальный момент) направлены в одну сторону.

Найдем точку на оси винта (см. (14.20)). Имеем

следовательно,

(можно выбрать и другую точку на оси винта).

Итак, винт системы будет

Перейдем к более наглядной характеристике винта. Винт системы состоит из двух коллинеарных и направленных в одну сторону векторов и М, модули которых соответственно равны:

Эти векторы действуют по центральной оси системы, уравнение которой в векторно-параметрической форме имеет вид

где

и X — произвольный параметр.

Легко определить точки пересечения этой оси с гранями куба. Уравнение нижней грани будет (см. (8.15)):

Точка пересечения прямой (14.25) и нижней грани куба найдется в результате совместного решения уравнений (14.25) и (14.26). Внесем из (14.25) в уравнение нижней грани и найдем соответствующее значение для X. Имеем

следовательно,

Но поэтому

Внесем это значение X в (14.25) и получим радиус-вектор точки пересечения оси винта и нижней грани:

Пользуясь значениями и найдем

т. е. ось винта пересекает нижнюю грань в точке . Уравнение правой боковой грани будет

Решая это уравнение совместно с (14.25), найдем точку пересечения центральной оси с правой боковой гранью: (читатель без труда выполнит все необходимые

выкладки). На рис. 61 ,б показана ось винта системы и на ней его компоненты и М.

Уравнения центральной оси можно записать и в координатной форме (14.190 (они сокращены на общий множитель 2F):

Точка А найдется теперь, если положить точка В, если положить