2. Свойства пар.

Так как главный вектор любой пары равен нулю, то для доказательства эквивалентности двух пар достаточно показать, что равны их векторы-моменты (по основной теореме). Это обстоятельство лежит в основе доказательства следующих свойств пар векторов.

Свойство 1. Пару векторов можно переносить как угодно в плоскости ее действия.

Свойство 2. Пару векторов можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости пары.

Свойство 3. Величины векторов пары можно изменять обратно пропорционально плечам.

Доказательство этих свойств непосредственно следует из того, что при указанных операциях вектор-момент пары не изменится ни по величине, ни по направлению. Важно отметить, что ни одна из этих операций не применима к одному вектору (один вектор нельзя поворачивать, параллельно переносить на новую линию действия, менять модуль вектора).

Естественно, что любой вектор-момент можно всегда, и притом бесчисленным множеством способов, рассматривать как момент некоторой пары Для того чтобы построить одну из таких пар, достаточно построить плоскость, перпендикулярную к и на ней нанести две параллельные линии Два вектора модули которых равны — расстояние между направленных таким образом, что вращение этих векторов является правосторонним по отношению к определяют искомую пару. На этом основании можно говорить, что пара векторов представляется своим вектором-моментом, и наоборот.

То обстоятельство, что момент пары векторов, определенный формулой (19.1), не зависит от выбора в пространстве полюса О, относительно которого вычисляются моменты векторов, составляющих пару, свидетельствует о том, что момент пары есть вектор свободный. Об этом свидетельствуют также первые два свойства пар, которые устанавливают возможность переноса не только момента, но и самой пары.

Рассмотрим пар в пространстве:

Каждая из этих пар вполне представляется свободным вектором поэтому вместо пар скользящих векторов

можно рассматривать свободных векторов

Как было показано в § 16, совокупность свободных векторов эквивалентна одному свободному вектору, равному их сумме. Таким образом, будем иметь

где

Естественно, что вектор М можно представить некоторой парой которую будем называть результирующей парой данной системы пар. Все сказанное можно кратко объединить в четвертое свойство пар.

Свойство 4. Совокупность нескольких пар векторов эквивалентна одной паре, момент которой равен сумме моментов данных пар.

Рассмотрим некоторую систему скользящих векторов, состоящую из скользящих векторов и пар, моменты которых равны Естественно, что эту систему можно рассматривать как систему, состоящую из скользящих векторов, но можно рассматривать и как систему, состоящую из скользящих векторов и свободных векторов ту.

Следует иметь в виду, что в этой системе векторы имеют разную размерность, однако, учитывая свойства пар, для нее можно установить понятие главного вектора и главного момента, которые будут соответственно равны: