§ 18. УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

1. Условия уравновешенности системы скользящих векторов.

Теорема. Для того чтобы система скользящих векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы и ее главный момент относительно произвольной точки пространства равнялись нулю:

Доказательство. Рассмотрим систему скользящих векторов . Пусть и (О — произвольная точка пространства) — главный вектор и главный момент данной системы. Требуется доказать, что из соотношения

следует

и обратно, если справедливы равенства (18.2), то будет справедливо и соотношение (18.1).

С помощью элементарных операций приведем данную систему к двум скользящим векторам На основании первого свойства элементарных операций данная система и система эквивалентны. Поэтому, если первая система эквивалентна нулю, то и вторая система эквивалентна нулю, и наоборот. Кроме того, на основании второго свойства

элементарных операций (стр. 136) главный вектор и главный момент системы равны соответственно и Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что из равенств (18.2) вытекает

и, наоборот, из (18.3) следуют равенства (18.2).

В п. 4 § 14 (стр. 114) было показано, что равенства (18.2) являются необходимым и достаточным условием того, чтобы два вектора имели равные модули, лежали на одной прямой и были направлены в противоположные стороны. Доказательство теоремы непосредственно вытекает теперь из третьей аксиомы.