3. Задание свободного вектора с помощью его проекций (координатный метод).
Естественный способ задания вектора обладает важным свойством: дает непосредственное, естественно вытекающее из определения представление о векторе. Но этот метод неудобен при различных математических преобразованиях; большие удобства представляет задание вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат.
Рис. 31.
Рассмотрим свободный вектор а и разложим его по трем направлениям х, 
(см. (4.2)):
где 
составляющие вектора а по осям х, у и z соответственно.
Обозначим через 
к орты осей х, у, z соответственнно (рис. 31). Тогда на основании (6.9) будем иметь:
где 
— проекции вектора а на оси 
Внося "эти выражения для составляющих вектора в (7.3), получим формулу разложения вектора по координатным ортам:
Это разложение является единственным и, следовательно, три проекции 
однозначно определяют вектор (с точностью до начальной точки).
Формула (7.4) является исключительно важной — она показывает, что коэффициенты в разложении вектора по координатным ортам являются проекциями вектора на соответствующие оси.
Рассмотрим два элементарных примера.
Пример 1. Даны проекции вектора на оси координат:
Разложить этот вектор по координатным ортам.
Подставляя значения проекций вектора в (7.4), получим:
Пример 2. Дано разложение вектора по координатным ортам
Определить его проекции на оси координат. Сравнивая с (7.4), будем иметь:
(так как проекция вектора на ось у равна нулю, то вектор а перпендикулярен к оси 
Пусть в пространстве дана точка М. Положение этой точки можно определить либо ее прямоугольными координатами х, у и z (рис. 32), либо радиусом-вектором 
е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой М. Очевидно, что проекции радиуса-вектора на оси координат равны соответствующим координатам точки, так что (см. рис. 32):
Разложение радиуса-вектора по координатным ортам имеет вид:
Любой вектор а, приведенный к началу координат, можно рассматривать как радиус-вектор своего конца. Поэтому проекции вектора 
часто называют координатами вектора и записывают это следующим образом:
(по аналогии с соответствующей записью координат точки).
Заметим, что начало радиуса-вектора точки строго определено, оно совпадает с началом координат. Естественно, что положение точки в пространстве можно определить вектором, идущим из любой другой точки, но в этом случае его начало должно специально оговариваться.
Рис. 32.
