§ 8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

1. Определение скалярного произведения.

Рассмотрим в пространстве два вектора и приведем их к общему началу. Пусть а — угол между этими векторами (см. начало п. 5 § 6, стр. 36). Скалярным произведением двух векторов

называется скаляр (число), равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение двух векторов следующим образом:

в некоторых руководствах скалярное произведение обозначается круглыми скобками.

На основании определения будем иметь

Это равенство можно написать в виде:

Произведение а равно проекции вектора на направление вектора а, т. е. (рис. 37). Поэтому

или

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на направление первого.

Рис. 37.

Рис. 38.

Скалярное произведение широко используется в физике. Остановимся на одном примере.

Пусть точка М проходит путь по прямой от пункта А до пункта В. Предположим, что на точку действует сила — постоянная по величине и направлению (рис. 38). Как известно из элементарного курса физики, работа силы на участке будет равна:

где а — угол между направлением движения точки и силой

Если ввести вектор перемещения то из выражения для работы и определения скалярного произведения двух векторов найдем, что работа постоянной силы при прямолинейном перемещении точка равна скалярному произведению вектора салы на вектор перемещения: