ВВЕДЕНИЕ

Очень много самых различных величин, встречающихся в физике, технике и математике, носят векторный характер— они определяются не только числом, но и направлением. Потребность в различных операциях над ними привела к возникновению нового исчисления, которое оперирует не с числами, а с векторами.

Векторное исчисление, созданное в XIX в. трудами ученых различных стран (Гамильтоном, Мёбиусом, Грассманом, Максвеллом, Гиббсом и др.)» получило в последние десятилетия широкое распространение. В настоящее время различные исследования в области многих разделов физики и математики, а также преподавание этих дисциплин ведется с привлечением векторного исчисления. Такому широкому распространению оно обязано главным образом следующими обстоятельствами: во-первых, векторное исчисление часто значительно сокращает вычисления; во-вторых, и это самое важное, векторное исчисление очень богато приложениями, так как позволяет выразить связь между различными физическими величинами непосредственно, не прибегая к вспомогательной надстройке в виде системы координат.

Поясним сказанное примером.

При изучении движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, Эйлер получил следующие выражения для проекций скорости любой точки тела:

где — проекции скорости на оси прямоугольной системы координат — проекции мгновенной угловой скорости на те же оси и х у, z — координаты точки, скорость которой определяется. Непосредственно по этим формулам мы можем вычислить не скорость

точки а только ее проекции (для определения величины и направления скорости нужны еще дополнительные действия), причем необходимо предварительно ввести систему координат, которая к существу рассматриваемого вопроса никакого отношения не имеет.

Но три скалярных выражения можно заменить одной векторной формулой, которой они эквивалентны:

Эта формула в отличие от равенств непосредственно связывает вектор скорости вектор мгновенной угловой скорости (О и определяющий положение точки вектор а не их проекции. Поэтому оказывается излишним введение координатной системы; более того, эта формула сразу указывает величину и направление скорости (см. ниже, (9.1)); наконец, ее вывод проще вывода формул

Однако векторное исчисление нельзя рассматривать как единственно целесообразное — многие вопросы значительно проще и нагляднее излагаются в обычной скалярной форме. Так, например, некоторые разделы аналитической геометрии и почти всю дифференциальную геометрию целесообразнее излагать с помощью векторного исчисления; многие вопросы статики и почти вся кинематика твердого тела также становятся нагляднее в векторном изложении. Вместе с тем, прямую на плоскости, кривые второго порядка, статику сплошной среды, динамику в большей своей части удобнее излагать с помощью аналитических методов. Поэтому необходимо уметь быстро переходить от векторной к скалярной форме изложения и наоборот.