Движение нейтральных частиц в пространстве Эрнста — Шварцшильда

Для исследования геодезических линий в пространстве-времени (2.6) воспользуемся уравнением Гамильтона — Якоби

решение которого в силу аксиальной симметрии и стационарности поля представимо в виде

однако переменные в уравнении для в общем случае не разделяются. Тем не менее из соображений симметрии ясно, что возможно чисто радиальное движение вдоль полярной оси, а также плоское движение при Для траекторий в плоскости из (29) получим

Соответствующие первые интегралы уравнений движения таковы:

где

В отличие от случая шварцшильдовой метрики эффективная потенциальная энергия радиального движения (33) неограниченно возрастает при причем эта особенность сохраняется и для безмассовых частиц, если только Отсюда следует, что уход массивных частиц на бесконечность в плоскости вообще невозможен, а в случае возможен лишь при чисто радиальном движении

Для безмассовых частиц введем прицельный параметр разделив друг на друга первые два из уравнений (3.32), получим

Равенство нулю подкоренного выражения определяет точки поворота. Помимо значения координаты точки поворота, переходящего в соответствующее шварцшильдово значение при существует еще одна точка поворота, координата которой при равна

Эта точка отвечает отражению частицы от «бесконечности» при

Продифференцировав выражение (34) по параметру в результате совместного решения уравнений получим условие для определения радиусов замкнутых круговых изотропных геодезических

Уравнение (36) при имеет один корень а при достаточно больших В корней в физической области вообще нет, так

как правая часть (36) слишком быстро растет. Для нахождения «критического» значения напряженности магнитного поля при котором имеется одна замкнутая светогеодезическая, учтем, что в этом предельном случае кривая, соответствующая правой части (36), касается прямой в некоторой точке и, следовательно, значение производной от правой части (36) в этой точке равно значению производной левой части, т. е. единице. Совместно с уравнением (36) это условие дает

а соответствующее значение равно

При круговых светогеодезических нет, при имеется одна круговая изотропная геодезическая, при существуют две такие светогеодезические с радиусами для которых, с учетом малости отношения можно получить следующие приближенные выражения:

Отметим, что при переходит в шварцшильдово значение

Для массивных частиц при в области существуют круговые орбиты, параметры которых определяются из условий

По мере приближения к светогеодезическим (39) эти орбиты становятся ультрарелятивистскими, причем

Отметим, что фактор в области существования круговых орбит, как следует из (38), (39), заключен в пределах