Разделение переменных

Уравнение Дирака (43) можно рассматривать как уравнение на собственные функции для оператора (47), принадлежащие собственному значению Потребуем, чтобы эти функции одновременно были собственными для коммутирующего с ним оператора (66)

где через Я, обозначены собственные значения, физический смысл которых выяснится ниже. Построим линейную комбинацию операторов (47) и (66)

где матрица Паули. Подставляя сюда явные выражения (47) и (66), нетрудно убедиться в том, что все операторы в ней взаимно уничтожаются и результирующая система уравнений содержит только радиальные операторы:

Аналогичным образом можно построить комбинацию, операторов (47) и (66), не содержащую радиальных операторов

Результирующая система уравнений для компонент дираковского спинора имеет вид

Учитывая, что производные Ли вдоль полей Киллинга имеют в качестве собственных функций ищем решение системы из восьми уравнений (69), (71) в виде

Из системы радиальных уравнений (69) получаем два уравнения для причем

и точно такую же систему для Аналогично из системы угловых уравнений (71) получаем уравнения для пары причем

и точно такую же систему для В формулах (73), (74) операторы определены согласно (19.10). Итак, мы приходим к следующим соотношениям между радиальными и угловыми частями компонент спинора:

Именно такие соотношения были предложены Чандрасекаром [289, 2] и использованы в последующих работах [290—292] для разделения переменных. Проведенный анализ раскрывает смысл анзаца Чандрасекара и дает интерпретацию константы разделения А, как собственного значения оператора (66) (по этому поводу см. также [300]).

При система угловых уравнений сводится к уравнениям для спиновых сферических функций. С другой стороны, если то разделение переменных можно осуществить с помощью шаровых спиноров, характеризующихся значениями орбитального момента полного момента и его проекции Сравнение показывает, что между имеет место соотношение

причем случай отвечает положительным а случай отрицательным Соответствующие функции таковы:

Записывая системы уравнений вида (74) для собственных значений и умножая каждое из них на угловую функцию с другим собственным значением, после некоторых преобразований получаем соотношение

в котором равенство нулю следует из условия регулярности функций на границах интегрирования. Отсюда следует, что двухкомпонентные функции

можно выбрать ортонормированными в смысле скалярного произведения

При отсутствии магнитного заряда система уравнений (74) симметрична относительно инверсии координат оператор при этом переходит в и мы получаем ту же самую систему с заменой Таким образом, где С — некоторая постоянная. Для система (74) сводится к рассмотренной Чандрасекаром [289], более подробный анализ был дан в работах [301—302]. При ее решениями будут спиновые сфероидальные функции со спиновым весом ±1/2. В случае получим спиновые сферические гармоники.

Обратимся теперь к системе радиальных уравнений (73). Нетрудно показать, что для любой пары решений этой системы является постоянным вронскиан — определитель вида

штрих здесь не обозначает производные!). Поскольку при комплексном сопряжении уравнения системы (73) переходят друг в друга, то каждой паре решений соответствует также пара Поэтому не зависящим от координаты будет также вронскиан

Исключив из системы (73) функцию получим уравнение второго порядка для

совпадающее по форме с уравнением Чандрасекара [289]. Входящие в это уравнение операторы имеют, однако, более общий вид и переходят в операторы Чандрасекара лишь при