Потери энергии и момента при излучении

Обратимся теперь к вычислению интегралов (7.157), выражающих полные потери энергии и аксиальной компоненты импульса при излучении волн заданным источником. Излучение гравитационных волн описывается формулами (7.144) (поток на дыру) и (7.152) (поток на бесконечность). Для построения при при используем разложения

в которых радиальные функции определяются путем сравнения (7.39) и (7.40) с (7.97). Учитывая (7.56), а также (7.63), (7.65) в (7.66) и (7.67), для радиальных функций в асимптотических областях получим

Подставляя (20) в (18) и далее в (7.152) с учетом явного вида коэффициента находим следующее выражение для полной потери энергии и момента за счет гравитационных волн, уходящих на бесконечность:

Здесь предполагается, что источник остается «включенным» в течение конечного времени, в случае стационарного источника вместо (22) следует рассматривать соответствующую величину, отнесенную к единице времени.

Аналогичные вычисления с использованием (7.144), (19) и (21) дают для потерь энергии и момента источником за счет поглощения гравитационных волн черной дырой

(причем для имеет место отрицательное поглощение). В случае электромагнитных волн используем разложения

причем радиальные функции нетрудно найти, сопоставляя формулы (7.97) с (7.52) и (7.53). В асимптотических областях имеем

Подстановка (26) в (24) и далее в (7.149) дает

и аналогично для поглощения дырой

Для случая скалярных волн соответствующие выкладки элементарны, и мы их приводить не будем. Объединяя результаты с (22), (23), (28) и (29), получим для потерь энергии и момента за счет излучения на бесконечность и поглощения («суперрадиации») дырой следующие универсальные выражения, пригодные для всех трех случаев:

Эти формулы выражают потери на бесконечности через моды, имеющие неотрицательный индекс и потери на горизонте через моды с неположительным индексом Однако с помощью формул (7.106) и (7) нетрудно перейти к величинам с произвольным при этом изменится лишь численный множитель.