Пост-ньютоновские поправки в переменных действие — угол

Для анализа спектрального распределения гравитационного излучения частицы, совершающей квазиэллиптическое движение в поле Керра, удобно воспользоваться переменными действие — угол. Прежде всего заметим, что при движении по орбитам, близким к ньютоновским, линейная скорость угловая скорость угловой момент и параметр

где полная энергия частицы, имеют относительный порядок

Можно показать, что первые релятивистские поправки пропорциональны квадрату скорости частицы и не зависят от момента черной дыры. Поэтому для отыскания первых поправок достаточно ограничиться геометрией Шварцшильда (поправки на поглощение дырой будут рассмотрены отдельно).

С требуемой точностью решение уравнения Гамильтона — Якоби, описывающее движение в плоскости может быть представлено в виде

где функция удовлетворяет уравнению

где точки поворота,

эксцентриситет,

большая полуось эллипса. Введем переменные действия

и угловые переменные

В новых переменных уравнения движения будут иметь вид

откуда

и соответствующие частоты равны

Всякая однозначная функция координат частицы является периодической функцией угловых переменных с периодом по каждой из них и может быть разложена в ряд Фурье

где целые числа. Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени, изменяющаяся с частотой

Поскольку эти частоты, вообще говоря, не находятся в кратном отношении, сумма в целом не является строго периодической функцией, а траектория не будет замкнутой, т. е. движение является условно-периодическим.

С требуемой точностью решения уравнений движения можно записать в параметрическом виде

что соответствует траектории типа розетки Зоммерфельда — эллипса, полуоси которого вращаются с частотой

Тонкая структура спектра излучения

Для расчета спектральной интенсивности гравитационного излучения, уходящего на бесконечность, достаточно найти асимптотический вид тетрадной проекции тензора Вейля (§ 7). В силу малости величины можно в качестве угловых функций взять спиновые сферические гармоники Учитывая периодический характер зависимости величин, описывающих движение, от угловых переменных , представим в виде разложения

Как видно из формулы (8), разность зависит только от следовательно, члены, для которых должны обращаться в нуль. Переходя к индексу суммирования интенсивность гравитационного излучения получим в виде

где Таким образом, в спектральном разложении интенсивности излучения вместо ряда по гармоникам кеплеровой частоты имеется двойной ряд по частотам что отвечает расщеплению каждой спектральной линии с номером на компоненты тонкой структуры, характеризуемые числом Релятивистские поправки порядка полностью содержатся в мультиполях Поскольку ясно, что с рассматриваемой точностью каждая гармоника кеплеровой частоты лсог будет расщепляться на семь компонент тонкой структуры с

Для построения радиальных функций нужно решить радиальное уравнение (7.86) с источником в выражение (7.85) для которого следует подставить тензор энергии-импульса точечной частицы.

где координаты частицы, движущейся по траектории (10.22). Радиальные функции при этом следует вычислить в длинноволновом приближении более точно, чем в § 7. Вычисления приводят к результатам для

При радиальная функция содержит дополнительный множитель югооу, поэтому достаточно использовать решение, полученное в § 7, которое с нужной нам точностью имеет вид

Оставляя члены основного порядка для каждой гармоники, найдем где

здесь функции Бесселя и их производные.

Сумма парциональных интенсивностей соответствует результату Петерса — Мэтьюса [160], в то время как представляют собой релятивистские поправки также содержат релятивистские поправки, которые не учитывались при получении . В случае движения по окружности т. е. основные линии имеют дублетный характер. С ростом эксцентриситета тонкая структура становится триплетной, и в предельном случае отношение

Рис. 6. Тонкая структура спектра гравитационного излучения при квазиэллиптическом движении

Этот основной триплет сопровождается четырьмя слабыми линиями, имеющими интенсивности порядка по отношению к (рис. 6).

Для вычисления полной интенсивности гравитационного излучения с учетом релятивистских поправок выполним суммирование в (17) по используя следующее представление производных от -функции:

В результате получим для полной интенсивности гравитационного излучения выражение [164]:

где Первые три члена в фигурных скобках в (23) соответствуют результату Петерса — Мэтьюса, а последний член представляет собой искомую релятивистскую поправку. Для кругового движения совпадает с результатом Вагонера и Уилла [162]. Относительный вклад поправочного члена в (23) быстро возрастает с ростом эксцентриситета.