Квазистационарные состояния

Характерной особенностью радиального эффективного потенциала (14) является наличие минимума (рис. 16), отвечающего области локализации классических финитных орбит. Соответствующие состояния, в отличие от состояний заряда в кулоновом поле, не будут стационарными, так как центробежный потенциал вблизи горизонта начинает спадать и область возможной локализации состояний финитного движения оказывается отделенной от черной дыры лишь потенциальным барьером. В квантовой теории возможно тунеллирование частицы через потенциальный барьер с последующим поглощением ее черной дырой, вследствие чего могут существовать лишь квазистационарные состояния, распадающиеся за конечное время. Существует строгое доказательство [276] отсутствия дискретного спектра у оператора Клейна-Гордона в пространстве-времени Шварцшильда. Действительно, квазистационарные состояния уже не принадлежат дискретному спектру, а являются состояниями рассеяния. Однако для волнового пакета, локализованного внутри потенциальной ямы и построенного из состояний квазидискретного спектра, время жизни может оказаться достаточно большим, чтобы имело смысл говорить о квазистационарных состояниях. Для этого достаточно, чтобы мнимая часть энергии, пропорциональная обратному времени распада, была мала по сравнению с вещественной частью (иначе говоря, волновой пакет должен совершить много оборотов вокруг черной дыры прежде, чем будет захвачен ею). Мы увидим ниже, что это действительно имеет место при выполнении условия (для шварцшильдовой черной дыры), где планковская масса.

Нетрудно оценить параметры квазистационарных состояний исходя из квазиклассических соображений. Боровский радиус для частицы в ньютоновском поле тяжелого тела массы равен (для наглядности в нижеследующих формулах явно выписаны

постоянная Планка и гравитационная постоянная

где комптоновская длина волны частицы. С увеличением радиус уменьшается, в то время как радиус горизонта растет. Равенство наступает при что отвечает для равному массе электрона, . Отношение

заведомо велико в случае т. е. микроскопических черных дыр.

В случае если отношение (32) меньше единицы, то могут существовать лишь возбужденные круговые орбиты, радиусы которых пропорциональны квадрату целого числа нетрудно видеть, что должно удовлетворять условию При такие состояния квазиклассичны (их затухание рассматривалось в [277, 278]). Ниже мы ограничимся случаем микроскопических черных дыр, для которого вычисления удается проделать аналитически. Как и выше, будем предполагать, что причем волновая функция в промежуточной асимптотически плоской области 2) успевает затухнуть настолько, что ее последующее сшивание вблизи космологического горизонта можно не проводить (соответствующая оценка будет сделана ниже).

При сделанных предположениях радиальная функция (ненормированная) в области частот квазисвязанных состояний должна иметь в асимптотических областях следующий вид:

где некоторые постоянные, Радиальная функция (33) описывает отражение волны, падающей на потенциальный барьер (рис. 16) слева. Поскольку в области волновая функция предполагается экспоненциально убывающей (возможностью тунеллирования на космологический горизонт пока пренебрегаем) и соответствующий поток вероятности равен нулю, коэффициент отражения по модулю равен единице, т. е. однако при рассеянии возникает изменение фазы по величине которого и можно судить о существовании квазистационарных состояний. Из общей теории резонансного рассеяния следует, что фаза 6 в окрестности резонансных частот

испытывает резкое изменение на , что можно записать в виде соотношения

где ширина квазистационарного уровня, предполагаемая малой по сравнению с плавно изменяющаяся в окрестности функция. Если же рассматривать коэффициенты в (33) как функции комплексной частоты то коэффициент будет обращаться в нуль в точке Поэтому для нахождения комплексных значений энергии квазистационарных состояний достаточно построить решение вида (33) и затем потребовать выполнения условия

при комплексных Эту операцию при условии удается выполнить с помощью склейки асимптотических разложений для радиальной функции, полученной в перекрывающихся между собой областях изменения переменной

Покажем предварительно, что отыскание собственных значений энергии связанных состояний с помощью условия регулярности в начале координат можно применять и к задаче о спектре дайона в плоском пространстве-времени, причем решением уравнения, аналогичного (35), будут в этом случае вещественные значения энергии. В пространстве Минковского угловые функции представляют собой спиновые сферические гармоники веса а собственное значение

Радиальное уравнение (12) в результате введения новой переменной сводится к уравнению Уиттекера для функции

где Решение этого уравнения, экспоненциально спадающее при 1, есть функция Уиттекера Рассмотрим поведение этого решения при

Требование регулярности в начале координат приводит к условию квантования

при этом гамма-функция в знаменателе второго слагаемого обращается в бесконечность. Отсюда находим спектр дайона в плоском пространстве-времени:

Для черной дыры асимптотики типа (38) являются лишь промежуточными и должны быть сшиты с волновыми решениями на горизонте событий (что физически отвечает возможности поглощения частиц черной дырой). Приведем вычисления для случая и достаточно малых значений параметра При выполнении этих условий угловое уравнение (11) сводится к уравнению для спиновых сферических функций веса при этом собственные значения где введено (вообще говоря нецелое) число V для удобства дальнейших расчетов. Радиальные функции можно построить, сшивая решения, найденные в двух перекрывающихся областях изменения координаты . В области радиальное уравнение по-прежнему сводится к (37), и мы получаем

где параметры теперь равны

Можно ожидать, что если искажение спектра вследствие изменения эффективного потенциала вблизи черной дыры (в частности, мнимая часть энергии) невелико, то его можно учесть, вводя в условие квантования (39) малую добавку

которую будем искать путем сшивания решения (41) с решением в ближней области. Для построения такого решения перейдем в (12) к новой безразмерной переменной

и сделаем подстановку

Рассмотрим область изменения радиальной координаты которая при малых значениях простирается вплоть до больших и перекрывается с областью, в которой справедливо

решение (41). Выберем постоянные так, чтобы результирующее уравнение для имело бы три регулярные особые точки с»:

Опуская члены, малые в рассматриваемой области изменения получим для гипергеометрическое уравнение

(здесь оиущены также члены, малые при Пренебрегая величинами по сравнению с I, получим радиальную функцию в виде суммы двух линейно независимых решений:

где в качестве а выбрано нижнее значение из (47). При малых х (т. е. ) это решение имеет вид суммы входящей и выходящей волн

где коэффициенты имеют вид

При больших х (но малых решение (49) сшивается с асимптотикой (38) функции (41). Действительно, в этой области (49) переходит в

Приравнивая эти асимптотики, находим коэффициенты

Теперь нетрудно убедиться в том, что условие квантования (44) Действительно обеспечивает выполнение требования отсутствия волны, выходящей из черной дыры

если добавка в (44) равна

Эта величина, вообще говоря, комплексна, ее вещественная часть дает сдвиг уровней по сравнению с кулоновским спектром, а мнимая часть описывает затухание, обусловленное поглощением частиц черной дырой. Если V — целое число (что в рассматриваемом лриближении будет иметь место при отсутствии монопольного заряда у черной дыры, либо электрического заряда у скалярной частицы), то вещественная часть как видно из (55), обращается в нуль, а выражение для мнимой части согласуется с полученным а [279—281].

Вещественная часть уравнения (44) приводит к водородоподобному спектру; пренебрегая релятивистскими поправками, получаем

В этом приближении вращение черной дыры не оказывает влияния на положение уровней энергии (поправки тонкой и сверхтонкой структуры рассматривались в [280], поправки, обусловленные сдвигом уровней в поле монополя легко учесть с помощью (55)). Космологические поправки также можно учесть приближенно. В принципе, при наличии космологического горизонта возникает второй канал распада квазистационарных состояний путем тунеллирования за космологический горизонт. Оценим этот эффект исходя из квазиклассических соображений. Поскольку в интересующем нас случае, когда область локализации квазисвязанных состояний далека от космологического горизонта, эффективный потенциал (14) в широкой области постоянен , то тунеллированием можно пренебречь до тех пор, пока интеграл

где правая точка поворота, не будет порядка единицы. Это условие определяет максимальное значение главного квантового числа «щах, выше которого становится существенным космологическое тунеллирование

С физической точки зрения представляет интерес обсудить возможность эффекта суперрадиации на квазисвязанных уровнях. Рассмотрим для простоты случай целых Введем декремент затухания уровней как мнимую часть комплексной частоты:

тогда, сопоставляя с формулой (44), найдем

Из (55) видно, что при т. е. при выполнении условия суперрадиации, величина у становится отрицательной, что соответствует возбуждению уровней энергии. Нетрудно убедиться в что множество состояний квазидискретного спектра действительно включает суперрадиантные моды (при ). Наибольший интерес представляет серия -состояний с . С ростом радиального квантового числа величина быстро убывает, поэтому ограничимся низшим состоянием . Мнимая часть энергии уровня равна с точностью до малых поправок

Состояние с испытывает отрицательное затухание, т. е. является неустойчивым. Подставляя в качестве массу -мезона, для черной дыры массы при получим оценку инкремента нарастания Для микроскопических черных дыр потеря момента при развитии суперрадиационной неустойчивости происходит значительно быстрее, чем потеря массы (так как каждая частица уносит относительную долю углового момента и относительную массу отношение скорости убывания момента к скорости убывания массной имеет порядок

Суперрадиационная неустойчивость существует и для квазисвязанных состояний (с большим I) вокруг черных дыр,

гравитационный радиус которых превышает боровский радиус Такие состояния можно описывать квазиклассически [277, 278].

Заметим, что уширение уровней вследствие возможности тунеллирования в черную дыру не приводит к их перекрытию; как видно из сопоставления формул (58) и (59), расстояние между соседними уровнями превышает у при всех

Существенным отличием суперрадиации на квазисвязанных уровнях от «обычной» суперрадиации, при которой частицы уходят на бесконечность, является экспоненциальный характер развития неустойчивости, число частиц на квазистационарных уровнях растет как Процесс заполнения уровней является ступенчатым. Сначала заполняется уровень до тех пор, пока уменьшение момента дыры не выводит это состояние из режима суперрадиации (так как вероятность тунеллирования на этот уровень максимальна). Затем начинает заполняться уровень с который еще является суперрадиантным, одновременно происходит обратное тунеллирование частиц из состояния в черную дыру, тем самым потеря массы частично компенсируется. Последовательное возбуждение суперрадиантных уровней сопровождается монотонным убыванием вращательного момента дыры, в то время как ее масса практически остается неизменной. Разумеется, такая картина лишь качественно описывает динамику развития суперрадиационной неустойчивости на квазисвязанных уровнях. Поскольку с ростом квантового числа эффективное время процесса быстро растет, для высоколежащих уровней доминирующим будет хокинговский механизм испарения.

Для невращающихся дыр суперрадиационная неустойчивость на квазисвязанных состояниях (в том числе и при учете электрического заряда дыры) не возникает. Хотя для заряженных частиц в поле черной дыры, обладающей электрическим зарядом, и существует эффективная эргосфера, нет квазистационарных состояний, параметры которых соответствовали бы условию суперрадиации Тепловой механизм заполнения квазистационарных состояний приводит к равновесному (с температурой черной дыры) распределению частиц по уровням [282, 283].