Суперрадиация и квантовое рождение частиц

В качестве двух линейно независимых решений радиального уравнения (13) целесообразно выбрать описывающее сходящуюся (поглощаемую черной дырой) волну при описывающее волну, уходящую за космологический горизонт, при Будем считать, что радиус горизонта событий черной дыры существенно меньше радиуса космологического горизонта Тогда существует промежуточная область в которой потенциал близок к постоянной и решение (при будет описываться промежуточными асимптотическими формулами (18).

Выбирая нормировочные коэффициенты так, чтобы при переходило в в введенные в § 4, получим решения, имеющие в указанных трех асимптотических областях следующий вид:

где введены знаковые функции Из условий постоянства вронскианов для линейно независимых пар решений находим соотношения

Рассмотрим подробнее поведение решений (18) в промежуточной асимптотической области . Соотношения (19) показывают, что в этой области существуют суперрадиантные потокикакот черной дыры, так и от космологического горизонта. Действительно, решение описывает волну, падающую из на черную дыру и испытывающую отражение с коэффициентом а решение волну, падающую из на космологический горизонт, и отражающуюся от него с коэффициентом При выполнении условия суперрадиации на горизонте черной дыры как видно из (19), коэффициент отражения т. е. происходит усиление волны. Аналогично при как показывает соотношение (19), т. е. происходит отражение волны от космологического горизонта с увеличенной амплитудой. С другой стороны, в области существует суперрадиантный поток от черной дыры лишь в области частот

Это следует из соотношения (19), показывающего, что коэффициент отражения а становится большим единицы по модулю при условии что (для рассматриваемого случая эквивалентно (20). Таким образом, с точки зрения наблюдателя, находящегося вблизи космологического горизонта, спектр суперрадиации черной дыры обрезается снизу. Физически это обусловлено тем, что наблюдатель, находящийся вблизи должен вращаться вместе с горизонтом событий и отсчитывать потенциал от

значения Вводя дополнительные нормировочные множители в решения и соответственно, получим моды, нормированные в смысле скалярного произведения (4) на «единицу»

(как обычно, скалярные произведения вычисляются с учетом лишь падающих волн в решениях (18) с последующим растяжением области интегрирования по «черепашьей» координате на бесконечный интервал, что соответствует представлению о широких волновых пакетах в областях Коши).

Если встать на «наивную» точку зрения, что положительно-частотные решения должны быть аналитическими функциями в нижней полуплоскости комплексифицированной временной координаты то из (19) будет следовать, что моды являются положительно-частотными при а моды -при Оператор вторично-квантованного поля в терминах разложения по таким модам будет иметь вид

где операторы уничтожения частицы и рождения античастицы, уходящих за космологический горизонт, а с — соответствующие операторы для частиц, поглощаемых черной дырой (аналогичное разложение для оператора эрмитово сопряженного к (22), будет содержать операторы и Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют стандартным бозевским перестановочным соотношениям

все остальные коммутаторы равны нулю. Введенная система операторов уничтожения задает состояние вакуума Бульвара

Однако с точки зрения наблюдателей, находящихся вблизи горизонтов событий, такое определение положительных частот является нефизическим, поскольку соответствующие моды не

аналитичны в нижней полуплоскости, не сингулярной на горизонтах крускаловой координаты Чтобы построить моды, обладающие требуемыми аналитическими свойствами по предварительно следует, как это было впервые указано Унру [273], построить решения уравнения Клейна-Гордона на втором листе аналитически расширенного многообразия (область на рис. 1) и составить такую линейную комбинацию с решениями в области I, которая была бы аналитична в нижней полуплоскости комплексифицированной координаты Для черной дыры, не окруженной космологическим горизонтом, такая процедура применяется к решениям типа «up» (переходящим в в то время как для решений «in» (переходящих в следует сохранить определение, данное выше (иначе говоря, выбор положительно-частотных решений должен производиться в терминах координат, не сингулярных на соответствующих поверхностях Коши). При наличии космологического горизонта аналогичная процедура должна применяться и к решениям типа (заменяющих «т»-моды). Следуя аргументации Унру, будем рассматривать в качестве положительночастотных решения в виде линейной комбинации мод с носителями в областях на рис. 1, которая аналитична в нижней полуплоскости комплексифицированной координаты Крускала вводимой при аналитическом продолжении метрики за космологический горизонт [268]. Результирующее разложение для оператора поля в области I имеет вид

где Здесь, в отличие от (20), нет ступенчатых функций, ограничивающих область интегрирования по со. Множитель учитывает изменение нормировки моды с носителем в 1 при учете вклада в нормировочный интеграл также области (подробнее см. [273—275]). Перестановочные соотношения для операторов и не отличаются от (23) с точностью до изменения области изменения параметра (который в (23) былограничен условиями пар Система операторов уничтожения задает вакуумное состояние, которое является обобщением вакуума Унру на случай космологической черной дыры и которое мы будем называть вакуумом Гиббонса-Хокинга (представление о рождении частиц космологическим горизонтом было впервые сформулировано в работе этих авторов

Выражения для вторично-квантовых операторов тока (3) и тензора энергии-импульса (7), билинейных по полям, получаются подстановкой разложения (22) в соответствующие классические выражения, предварительно симметризованные по чтобы результирующие операторы были эрмитовы. Нормального упорядочения операторов при этом производить не следует, иначе будет потеряна информация о поляризации вакуума гравитационным полем. С учетом этих замечаний находим вакуумное среднее оператора тока в состоянии вакуума Гиббонса-Хокинга

где формы (5) от соответствующих классических решений. Это выражение напоминает вакуумное среднее для обычной (не космологической) черной дыры в состоянии Хартля-Хокинга [14], описывающего черную дыру в термостате с температурой, равной температуре горизонта, однако в нашем случае температуры горизонтов различны. Подставляя в (27) асимптотики радиальных функций (18) и учитывая соотношения (19) для коэффициентов, можно показать, что вклады первого и второго слагаемых в (27) в радиальную компоненту тока взаимно уничтожаются для частот ниже порога космологической суперрадиации при формальном стремлении к нулю температур Аналогичным образом строятся средние от компонент тензора энергии-импульса. Интегрируя при выражения для потоков энергии и углового момента от черной дыры, получим формулы для потери массы и момента вращения дырой за счет рождения частиц, уходящих на бесконечность

в частности, в пределе найдем потери, обусловленные спонтанной суперрадиацией:

где Соответствующее выражение для потери электрического заряда имеет вид

где значения коэффициента прохождения при Величина существенно зависит от орбитального момента I, она становится экспоненциально малой при больших Если дыра обладает магнитным зарядом, то следовательно, при испускание заряженных частиц будет подавлено. Излучая нейтральные частицы, черная дыра будет терять массу и момент вращения, пока не перейдет в состояние экстремальной дыры Рейсснера-Нордстрема с [242], в котором ее поверхностная гравитация (температура) равна нулю.