Интегралы движения

Из симметрии действия (41) относительно преобразования фазы следует закон сохранения векторного тока:

Явное выражение для вектора тока в терминах разложения по векторам изотропной тетрады таково:

В случае поля нулевой массы, действие (41) инвариантно также «относительно кирального поворота что приводит к сохранению аксиального тока

При из уравнений (43), (44) находим следующее выражение для дивергенции аксиального тока:

Как известно, при учете взаимодействия спинорного поля с электромагнитным и гравитационным в правой части (51) появляются квантовые поправки, выражающиеся через псевдоскалярные инварианты электромагнитного и гравитационного полей [293—297] (аксиальные аномалии). Существование аксиальных аномалий приводит к нетривиальным эффектам в рождении фермионов дайонами (см. ниже).

Варьируя лагранжиан (42) по метрике, получаем выражение для тензора энергии-импульса

удовлетворяющего условию

и имеющего след

Нетрудно проверить, что для каждого векторного поля Киллинга можно построить сохраняющийся ток

Приведем также явное выражение для тензора энергии-импульса в терминах разложения по векторам изотропной тетрады

Для разделения переменных в уравнении Дирака (43) необходимо построить набор матричных операторов, коммутирующих с оператором (47). Покажем, что в число таких операторов можно включить спинорные производные Ли (33) вдоль векторных полей Киллинга. Заметим предварительно, что если — вектор Киллинга, то из (38) следует

Рассмотрим теперь коммутатор [2%, на множестве дираковских спиноров. Учитывая уравнения Киллинга и ковариантное постоянство матриц находим

Коммутатор двух спинорных ковариантных производных применительно к дираковским спинорам выражается через тензор Римана в виде

Далее, используя уравнения Киллинга для можно показать

Подставляя (59) и (60) в (58), нетрудно убедиться что рассматриваемый коммутатор равен нулю. В результате для удлиненной; спинорной ковариантной производной, свернутой с матрицей Дирака, получаем следующий коммутатор с производной Ли вдоль векторного поля Киллинга:

который обращается в нуль, если электромагнитное поле постоянно в смысле переноса Ли вдоль поля Киллинга (что имеет место в нашем случае согласно Итак в нашем распоряжении имеются два оператора, коммутирующих с оператором Дирака и имеющих, следовательно, общие с ним собственные функции. Третий недостающий оператор можно построить, если пространство-время допускает тензорное поле Яно-Киллинга (1.31). С помощью антисимметричного тензора можно построить матричный оператор первого порядка по удлиненной ковариантной производной:

жоммутатор которого с оператором Дирака (47) равен

Добавляя к оператору (62) член без производной так, чтобы его коммутатор с оператором Дирака скомпенсировал выражение (63), и выбирая общий коэффициент из условия самосопряженности, получаем следующий оператор, коммутирующий с (47):

где дуальный тензор Яно-Киллинга. Этот интеграл был впервые указан в работе [298] (см. также [299], где лостроены интегралы движения более общего вида).

Покажем, что для метрики, не зависящей от координат вдоль направлений, задаваемых векторным полем (в этом случае контравариантные компоненты поля постоянны), производные Ли (33) превращаются в операторы частного дифференцирования вдоль (умноженные на единичную матрицу). Для этого выделим в (33) частную производную и подставим явное выражение (24) для спинорной связности, а затем преобразуем второй член в (33) с учетом уравнений Киллинга для

В случае если компоненты не зависят от координат и метрика не зависит от координат вдоль в этой формуле отлично от лишь первое слагаемое, что и доказывает утверждение.

Получение явного выражения оператора для случая рассматриваемой метрики требует громоздких вычислений. Результат имеет вид