Метод Тьюкольского

Следуя работе [9], обратимся к отысканию возмущений тетрадных проекций тензора Вейля, связанного с тензором кривизны соотношением

где

бесследовая часть тензора Риччи скалярная кривизна.

В формализме Ньюмена — Пенроуза тензор Вейля, имеющий 10 независимых компонент, описывается пятью комплексными функциями (1.49), из которых в отсутствие возмущений отлична от нуля лишь (1.50). (Возмущения тетрадных проекций тензора Вейля будем обозначать малыми буквами в отличие от невозмущенной величины

Система уравнений Ньюмена — Пенроуза, в которые входят тетрадные проекции тензора Вейля, состоит из одиннадцати тождеств Бианки (первая группа уравнений) и восемнадцати тождеств Риччи для векторов тетрады (вторая группа). Как было показано Тьюкольским [9], для функций оказывается возможным получение разделенных уравнений, аналогичных (5.20), (5.23) в электромагнитном случае.

Для вывода уравнения, которому подчиняется возмущение требуются два уравнения из первой группы (уравнения в [51]), куда входят пары и возмущенные спиновые коэффициенты а также одно уравнение из второй группы в [51]), связывающее возмущения х и а с величиной При использовании тетрады Киннерсли для метрики Керра первые два уравнения с помощью соотношений (4.42) — (4.45) можно привести к виду

где невозмущенное значение проекции тензора Вейля (1.50). Уравнение из второй группы для к и а принимает форму

Для исключения из системы (13), (14) достаточно подействовать на (13) оператором

а на (14) — оператором

и полученные уравнения сложить. Оказывается, что при этом возникает комбинация слагаемых, содержащих возмущения спиновых

коэффициентов , которая в точности равна левой части (15). Заменяя эту комбинацию на получаем уравнение второго порядка, не содержащее других неизвестных функций, кроме Воспользовавшись соотношениями коммутации (4.39) — (4.41), приведем полученное уравнение к окончательному виду

Источник в правой части (16) удобно представить в форме

где введен оператор проектирования

(смысл индекса 2 будет ясен из дальнейшего).

Аналогичное уравнение для 14 получается в результате повторения этой процедуры для системы уравнений и из [5,1].

В наших обозначениях будем иметь

где источник можно записать в виде

с помощью проекционного оператора

Уравнения (16) и (19) допускают полное разделение переменных (§ 7), и их решения можно построить с помощью функций Грина. Возникает вопрос: будут ли построенные величины полностью описывать возмущения гравитационного поля? В случае произвольных невакуумных возмущений для полного описания необходимо 6 вещественных независимых функций (десять компонент минус четыре функции, фиксирующие координатные условия). Вакуумные возмущения полностью описываются двумя независимыми функциями (2 состояния поляризации гравитационных волн). Как мы увидим ниже, две комплексные функции и связаны между собой локальным соотношением, так что фактически имеются две независимые функции. Вакуумные возмущения метрики действительно

полностью описываются этими величинами (с точностью до добавок к массе и моменту вращения черной дыры) [110], точно так же, как бестоковые возмущения электромагнитного поля полностью (с точностью до изменения заряда дыры) описываются скалярами Ньюмена — Пенроуза . Широкий круг физически интересных задач требует нахождения функций, описывающих полевые возмущения вне области сосредоточения источников этих возмущений. Для этого необходимо построить решения разделенных уравнений с источниками в полной области, а затем выразить через них возмущения всех интересующих нас полевых величин вне области локализации источников. В этом смысле можно свести задачу к отысканию функций Грина, позволяющих находить возмущения метрики, создаваемые распределением материи в некоторой компактной пространственной области, всюду вне этой области. Эти возмущения будут выражены непосредственно через тензор энергии-импульса материи [98, 113]. Предварительно обсудим подробнее свойства метрических возмущений в вакуумной области.